Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
, definida por
Passo 1
O enunciado fornece:
- Uma função
definida por . - Pedido: classificar
como injetora, sobrejetora ou bijetora.
Observação importante sobre a notação
:
- Há ambiguidade comum:
pode significar (reais não-negativos) ou (reais estritamente positivos). - Se
, a função como dada não seria bem definida porque . Logo a interpretação coerente aqui é . Vou adotar essa interpretação para prosseguir: .
Passo 2
Definições (aquelas que você precisa dominar para a prova — explico devagar e com exemplos):
- Injetiva:
é injetiva se, sempre que , isso implica . Intuitivamente: valores distintos do domínio não podem dar o mesmo valor no contradomínio. Exemplo simples: em é injetiva porque . - Sobrejetiva:
é sobrejetiva em relação ao contradomínio se, para todo , existe no domínio tal que . Intuitivamente: a imagem de “cobre” todo o contradomínio. Exemplo: é sobrejetiva porque qualquer tem uma raiz cúbica. - Bijetiva:
é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Então existe uma correspondência biunívoca entre domínio e contradomínio.
Na prova, para mostrar injetividade normalmente usa-se: assumir
e deduzir
; para refutar injetividade basta encontrar
com
. Para sobrejetividade, resolve-se a equação
e mostra-se que para todo
do contradomínio existe pelo menos uma solução real
.
Passo 3
Teste de injetividade (método direto com contraexemplo e argumento algébrico):
- Intuição:
é a distância de até . Distâncias simétricas à esquerda e à direita de dão o mesmo valor, então esperamos não ser injetiva. - Contraexemplo simples: tome
e . Calculando, Como e , isso já prova que não é injetiva. - Argumento algébrico geral: suponha
, isto é . Isso implica duas possibilidades: A primeira dá . A segunda dá , ou seja, e são simétricos em relação a (por exemplo e ). Portanto existem sempre pares distintos com mas (quando e ). Logo não é injetiva.
Passo 4
Teste de sobrejetividade (resolver
para um
arbitrário do contradomínio
):
- Peguei do enunciado que o contradomínio é
e, conforme observado, interpretei como . - Queremos: para todo
, existe tal que . - Resolva a equação
com . Por definição do valor absoluto, Assim as soluções são Ambas são números reais para qualquer . Portanto, para cada existe pelo menos um (na verdade dois, exceto para que dá único) com . - Conclusão:
é sobrejetiva quando o contradomínio é .
Passo 5
Conclusão final combinando os resultados:
-
não é injetiva (já demos contraexemplo e argumento geral). -
é sobrejetiva sobre (para cada existe com ). - Portanto
não é bijetiva (porque precisa ser injetiva e sobrejetiva simultaneamente para ser bijetiva).
Resposta
Não injetora; sobrejetora (assumindo
); portanto não bijetora.