Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}, definida por y=|x-1|

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+} definida por y=|x-1|.
  • Pedido: classificar f como injetora, sobrejetora ou bijetora.
Observação importante sobre a notação \mathbb{R}_{+}:
  • Há ambiguidade comum: \mathbb{R}_{+} pode significar [0,\infty) (reais não-negativos) ou (0,\infty) (reais estritamente positivos).
  • Se \mathbb{R}_{+}=(0,\infty), a função como dada não seria bem definida porque f(1)=0\notin(0,\infty). Logo a interpretação coerente aqui é \mathbb{R}_{+}=[0,\infty). Vou adotar essa interpretação para prosseguir: \mathbb{R}_{+}=[0,\infty).

Passo 2

Definições (aquelas que você precisa dominar para a prova — explico devagar e com exemplos):
  • Injetiva: f é injetiva se, sempre que f(a)=f(b), isso implica a=b. Intuitivamente: valores distintos do domínio não podem dar o mesmo valor no contradomínio. Exemplo simples: g(x)=2x em \mathbb{R} é injetiva porque 2a=2b\Rightarrow a=b.
  • Sobrejetiva: f é sobrejetiva em relação ao contradomínio C se, para todo y\in C, existe x no domínio tal que f(x)=y. Intuitivamente: a imagem de f “cobre” todo o contradomínio. Exemplo: h(x)=x^3:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é sobrejetiva porque qualquer y\in\mathbb{R} tem uma raiz cúbica.
  • Bijetiva: f é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Então existe uma correspondência biunívoca entre domínio e contradomínio.
Na prova, para mostrar injetividade normalmente usa-se: assumir f(a)=f(b) e deduzir a=b; para refutar injetividade basta encontrar a\neq b com f(a)=f(b). Para sobrejetividade, resolve-se a equação f(x)=y e mostra-se que para todo y do contradomínio existe pelo menos uma solução real x.

Passo 3

Teste de injetividade (método direto com contraexemplo e argumento algébrico):
  • Intuição: y=|x-1| é a distância de x até 1. Distâncias simétricas à esquerda e à direita de 1 dão o mesmo valor, então esperamos não ser injetiva.
  • Contraexemplo simples: tome x=0 e x=2. Calculando, f(0)=|0-1|=1,\qquad f(2)=|2-1|=1.Como 0\neq2 e f(0)=f(2), isso já prova que f não é injetiva.
  • Argumento algébrico geral: suponha f(a)=f(b), isto é |a-1|=|b-1|. Isso implica duas possibilidades: a-1=b-1 \quad\text{ou}\quad a-1=-(b-1).A primeira dá a=b. A segunda dá a+b=2, ou seja, a e b são simétricos em relação a 1 (por exemplo 1+t e 1-t). Portanto existem sempre pares distintos (a,b) com a\neq b mas f(a)=f(b) (quando a+b=2 e a\neq b). Logo f não é injetiva.

Passo 4

Teste de sobrejetividade (resolver f(x)=y para um y arbitrário do contradomínio [0,\infty)):
  • Peguei do enunciado que o contradomínio é \mathbb{R}_{+} e, conforme observado, interpretei como [0,\infty).
  • Queremos: para todo y\in[0,\infty), existe x\in\mathbb{R} tal que |x-1|=y.
  • Resolva a equação |x-1|=y com y\ge0. Por definição do valor absoluto, |x-1|=y \iff x-1=y \quad\text{ou}\quad x-1=-y.Assim as soluções são x=1+y \quad\text{ou}\quad x=1-y.Ambas são números reais para qualquer y\ge0. Portanto, para cada y\in[0,\infty) existe pelo menos um x\in\mathbb{R} (na verdade dois, exceto para y=0 que dá x=1 único) com f(x)=y.
  • Conclusão: f é sobrejetiva quando o contradomínio é [0,\infty).

Passo 5

Conclusão final combinando os resultados:
  • f não é injetiva (já demos contraexemplo e argumento geral).
  • f é sobrejetiva sobre \mathbb{R}_{+}=[0,\infty) (para cada y\ge0 existe x com |x-1|=y).
  • Portanto f não é bijetiva (porque precisa ser injetiva e sobrejetiva simultaneamente para ser bijetiva).

Resposta

Não injetora; sobrejetora (assumindo \mathbb{R}_{+}=[0,\infty)); portanto não bijetora.

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