Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}, definida por y=2 x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+} definida por
f(x)=2x^{2}.
Vou interpretar \mathbb{R}_{+} como o conjunto dos reais não negativos [0,\infty) (é a interpretação mais comum).
O que se pede: classificar f como injetora, sobrejetora ou bijetora (cada uma das propriedades deve ser verificada).

Passo 2

O que significa ser injetora?
Definição: uma função f é injetora (ou um a um) se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), isso implica necessariamente x_{1}=x_{2}. Em linguagem prática: dois argumentos diferentes não podem dar o mesmo valor de saída.
Métodos de verificação: basta encontrar um contraexemplo (dois x diferentes com mesma imagem) para provar que NÃO é injetora; ou provar algebraicamente que f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2} para afirmar que é injetora.

Passo 3

Testando injetividade em f(x)=2x^{2}.
Contraexemplo simples: calcular
f(1)=2\cdot 1^{2}=2, \qquad f(-1)=2\cdot (-1)^{2}=2.
Aqui f(1)=f(-1) mas 1\neq -1. Portanto já temos dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem, logo f NÃO é injetora.
Explicação algébrica (completa): suponha f(x_{1})=f(x_{2}). Então
2x_{1}^{2}=2x_{2}^{2}\quad\Rightarrow\quad x_{1}^{2}=x_{2}^{2}.
Isso implica x_{1}=\pm x_{2}. Ou seja, é possível ter x_{1}=-x_{2} com x_{2}\neq 0, mostrando a perda da unicidade do antecedente. Confirma-se não-injetividade.

Passo 4

O que significa ser sobrejetora?
Definição: f é sobrejetora (ou “sobre”) se para todo y do contradomínio existe pelo menos um x no domínio tal que f(x)=y. Em outras palavras, a imagem (ou alcance) de f é todo o conjunto \mathbb{R}_{+}.
Método de verificação: mostrar que para qualquer y\in[0,\infty) existe solução real x da equação 2x^{2}=y; também é útil mostrar que toda imagem f(x) pertence a [0,\infty).

Passo 5

Testando sobrejetividade para f(x)=2x^{2}.
Primeiro, para todo x\in\mathbb{R} temos 2x^{2}\ge 0. Logo f(\mathbb{R})\subseteq[0,\infty) — as imagens nunca saem do contradomínio declarado.
Agora, pegue um y qualquer em [0,\infty). Queremos achar x\in\mathbb{R} com 2x^{2}=y. Resolver:
2x^{2}=y \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{y}{2}.
Como y\ge 0, o lado direito é \ge 0, então existem soluções reais
x=\pm\sqrt{\frac{y}{2}}.
Portanto, para qualquer y\ge 0 existe (pelo menos) um x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Conclusão: f(\mathbb{R})=[0,\infty), isto é, f é sobrejetora.
Observação útil: para y>0 há exatamente dois antecedentes \pm\sqrt{y/2}; para y=0 o único antecedente é x=0.

Passo 6

Conclusão sobre bijetividade: uma função é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora. Como vimos em

Passo 7

Dica prática para prova: se for necessário obter uma inversa, restrinja o domínio para [0,\infty). A restrição f:\,[0,\infty)\to[0,\infty) dada por f(x)=2x^{2} torna-se injetora e, portanto, bijetora; sua inversa é
f^{-1}(y)=\sqrt{\frac{y}{2}}\quad\text{(para }y\ge 0\text{)}.

Resposta

Não injetora
Sobrejetora
Não bijetora

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