Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
, definida por
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
Vou interpretar
como o conjunto dos reais não negativos
(é a interpretação mais comum).
O que se pede: classificar como injetora, sobrejetora ou bijetora (cada uma das propriedades deve ser verificada).
O que se pede: classificar
Passo 2
O que significa ser injetora?
Definição: uma função é injetora (ou um a um) se, sempre que
, isso implica necessariamente
. Em linguagem prática: dois argumentos diferentes não podem dar o mesmo valor de saída.
Métodos de verificação: basta encontrar um contraexemplo (dois diferentes com mesma imagem) para provar que NÃO é injetora; ou provar algebraicamente que
para afirmar que é injetora.
Definição: uma função
Métodos de verificação: basta encontrar um contraexemplo (dois
Passo 3
Testando injetividade em
.
Contraexemplo simples: calcular
Aqui
mas
. Portanto já temos dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem, logo
NÃO é injetora.
Explicação algébrica (completa): suponha
. Então
Isso implica
. Ou seja, é possível ter
com
, mostrando a perda da unicidade do antecedente. Confirma-se não-injetividade.
Passo 4
O que significa ser sobrejetora?
Definição: é sobrejetora (ou “sobre”) se para todo
do contradomínio existe pelo menos um
no domínio tal que
. Em outras palavras, a imagem (ou alcance) de
é todo o conjunto
.
Definição:
Método de verificação: mostrar que para qualquer
existe solução real
da equação
; também é útil mostrar que toda imagem
pertence a
.
Passo 5
Testando sobrejetividade para
.
Primeiro, para todo
temos
. Logo
— as imagens nunca saem do contradomínio declarado.
Agora, pegue um
qualquer em
. Queremos achar
com
. Resolver:
Como
, o lado direito é
, então existem soluções reais
Portanto, para qualquer
existe (pelo menos) um
tal que
. Conclusão:
, isto é,
é sobrejetora.
Observação útil: para
há exatamente dois antecedentes
; para
o único antecedente é
.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade: uma função é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora. Como vimos em
Passo 7
Dica prática para prova: se for necessário obter uma inversa, restrinja o domínio para
. A restrição
dada por
torna-se injetora e, portanto, bijetora; sua inversa é
Resposta
Não injetora
Sobrejetora
Não bijetora
Sobrejetora
Não bijetora