Sendo f(x)=log 3(x^2-sen x), determine f^prime(pi / 2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=log3l(x^2-sen xr)
e pede f'(pi/2).
O conteúdo aqui é derivada de logaritmo em base a combinado com regra da cadeia, além da derivada de funções polinomiais e da função seno.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2-sen x,
de modo que f(x)=log3u(x). Pela regra da cadeia e pela fórmula
ddxl(logaur)=u'uln a,
temos
f'(x)=u'(x)u(x),ln 3

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=x^2-sen x, usa-se derivada de x^2 e de sen x:
u'(x)=2x-cos x

Passo 4

Precisamos de u(pi/2) e u'(pi/2).
Para u'(pi/2):
u'(tfracpi2)=2cdottfracpi2-cosl(tfracpi2r) =pi-0=pi
Para u(pi/2):
ul(tfracpi2r) =l(tfracpi2r)^2-senl(tfracpi2r) =pi^24-1

Passo 5

Substituindo na expressão de f'(x):
f'l(tfracpi2r) =u'(pi/2)u(pi/2),ln 3 =pil(pi^24-1r)ln 3 =4pi(pi^2-4),ln 3

Resposta

f'l(tfracpi2r) =4pi(pi^2-4),ln 3

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