Utilizando técnicas de integração, determine:
(1,5) integral x^2 e^x d x
integral x^2 e^x d x & stackrelP P=-2 integral x e^x d x+x^2 e^x & stackrelP P=-2(-integral e^x d x+x e^x)+x^2 e^x & =2 integral e^x d x-2 x e^x+x^2 e^x & =(2-2 x+x^2) e^x+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2e^x,dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos lembrar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e escolher u e dv de forma a simplificar o problema.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = e^x,dx,
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du = 2x,dx, v = e^x
Aplicando a fórmula de partes:
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - integral e^x,(2x,dx) = x^2e^x - 2integral x e^x,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral restante integral x e^x,dx também por partes, escolhendo
u1 = x, dv1 = e^x,dx,
de onde
du1 = dx, v1 = e^x
Assim,
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x
Substituindo de volta:
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - 2l(x e^x - e^xr) = x^2e^x - 2x e^x + 2e^x

Passo 4

Fatorando e^x, obtemos a forma final:
integral x^2e^x,dx = (x^2 - 2x + 2),e^x + C

Resposta

boxed(x^2 - 2x + 2),e^x + C

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