Use diferenciação logarítmica para calcular a derivada de y= raiz[3]x+1(x+2) raizx+3.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = raiz[3]x+1(x+2)raizx+3
usando diferenciação logarítmica. O conteúdo é aplicar logaritmo natural em ambos os lados, derivar implicitamente e depois voltar a y'.

Passo 2

Tomamos logaritmo em ambos os lados:
ln y = lnl((x+1)^1/3r) - ln(x+2) - lnl((x+3)^1/2r)
Usando propriedades de logaritmo, isso vira
ln y = tfrac13ln(x+1) - ln(x+2) - tfrac12ln(x+3)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo vem y'y. Do direito,
y'y = 13cdot1x+1 ;-;1x+2;-;12cdot1x+3

Passo 4

Isolamos y' e reescrevemos em função de x. Primeiro,
y' = yl[tfrac13(x+1) - tfrac1x+2 - tfrac12(x+3)r]
Como y=(x+1)^1/3/l((x+2)(x+3)^1/2r), substituímos e simplificamos o fator. Um denominador comum para o colchete é 6(x+1)(x+2)(x+3), e a combinação dá numerador -7x^2-23x-12. Logo
y' = (x+1)^1/3(x+2),(x+3)^1/2;cdot;-,l(7x^2+23x+12r)6,(x+1)(x+2)(x+3)
Reduzindo (x+1)^1/3/(x+1)=(x+1)^-2/3 e juntando potências em (x+2) e (x+3), obtemos
y' = -,7x^2+23x+126;(x+1)^-2/3(x+2)^2,(x+3)^3/2

Resposta

y' = -7x^2 + 23x + 126;(x+1)^-2/3(x+2)^2,(x+3)^3/2

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