Sendo f(x, y)=rllx^3 y-x y^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0).
a) Mostre que f(x, y) é contínua em R^2;
b) Calcule fx(x, y) e fy(x, y), forall(x, y) in R^2-(0,0);
c) Calcular f( (0,0) e fy(0,0);
d) Mostre que fx e fy são contínuas em R^2;
e) Calcule fx y e fy x para (x, y) neq(0,0);
f) Verifique que fy x(0,0) neq fx y(o, 0) e justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes em $x,y$\in\R^2\): \f(x,y)=\frac{x^3y - x y2}{x2+y^2} se (x,y)\neq(0,0) e f(0,0)=0. Vamos estudar limite multicorpo, derivadas parciais e derivadas mistas, usando regra do quociente e definição de derivada.

Passo 2

(a) Para (x,y)\neq(0,0) f é quociente de polinômios sem zeros comuns no denominador, logo contínua. Em (0,0) use coordenadas polares x=r\cosθ, y=r\sinθ. O numerador é x y (x^2 - y^2), então |numerador|\le r^2\cdot r2=r4 e o denominador é r^2. Logo
|f(x,y)|<=r^4r^2=r^2to0(rto0),

Passo 3

logo f(x,y)\to0=f(0,0). Portanto f é contínua em todo \R^2.

Passo 4

(b) Para (x,y)\neq(0,0) definimos g(x,y)=x^3y - x y^2 e h(x,y)=x2+y2. Pela regra do quociente:
fx=gx,h - g,hxh^2, gx=3x^2y - y^2,;hx=2x,

Passo 5

$ fx(x,y)=(3x^2y - y^2)(x^2+y^2) - 2x(x^3y - x y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 6

e
fy=gy,h - g,hyh^2, gy=x^3-2xy,;hy=2y,

Passo 7

fy(x,y)=(x^3-2xy)(x^2+y^2) - 2y(x^3y - x y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 8

© Pelas definições:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-0h=limhto00h=0, fy(0,0)=limhto0f(0,h)-0h=0

Passo 9

(d) Para (x,y)\neq(0,0), f_x e f_y são razões de polinômios sem singularidades, logo contínuas ali. Em (0,0) avaliamos limites: f_x(x,y)\to0=f_x(0,0), logo f_x é contínua no origem. Mas f_y(x,y)\xrightarrow[y=x]{r\to0}-\tfrac12\neq0=f_y(0,0), logo f_y não é contínua em (0,0).

Passo 10

(e) Ainda em (x,y)\neq(0,0), aplicamos novamente a regra do quociente a f_x e a f_y para obter as derivadas mistas:
fxy=partialpartial yl[fx(x,y)r], fyx=partialpartial xl[fy(x,y)r],

Passo 11

cuja forma explícita sai da diferenciação de
N1=x^4y+3x^2y^3+x^2y^2-y^4,D=(x^2+y^2)^2,

Passo 12

e de
N2=x^5-x^3y^2-2x^3y,D=(x^2+y^2)^2,

Passo 13

usando a regra do quociente em cada caso.

Passo 14

(f) No origem calculamos via definição:
fyx(0,0)=limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h=limhto0(h)-0h=1,

Passo 15

pois f_y(x,0)=x. Mas
fxy(0,0)=limhto0fx(0,h)-fx(0,0)h=limhto0(-1)-0h não existe,ã

Passo 16

pois f_x(0,y)=-1 para y\neq0. Logo f_{yx}(0,0)\neq f_{xy}(0,0), mostrando que sem continuidade de f_y em torno do origem o teorema de Schwarz falha.

Resposta

a) f é contínua em todo \R^2. b) Para (x,y)\neq(0,0):\\n$ fx(x,y)=(3x^2y - y^2)(x^2+y^2) - 2x(x^3y - x y^2)(x^2+y^2)^2, fy(x,y)=(x^3-2xy)(x^2+y^2) - 2y(x^3y - x y^2)(x^2+y^2)^2
c) f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0. d) f_x é contínua em todo \R^2; f_y falha em ser contínua em (0,0). e) Para (x,y)\neq(0,0), f_{xy} e f_{yx} obtêm-se diferenciando f_x e f_y via regra do quociente (vide detalhamento). f) f_{yx}(0,0)=1, mas f_{xy}(0,0) não existe, logo são diferentes.

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