Sendo
.
a) Mostre que
é contínua em
;
b) Calcule
e
;
c) Calcular
e
;
d) Mostre que
e
são contínuas em
;
e) Calcule
e
para
;
f) Verifique que
e justifique.
a) Mostre que
b) Calcule
c) Calcular
d) Mostre que
e) Calcule
f) Verifique que
Passo 1
O enunciado define a função por partes em $x,y$\in\R^2\): \f(x,y)=\frac{x^3y - x y2}{x2+y^2} se (x,y)\neq(0,0) e f(0,0)=0. Vamos estudar limite multicorpo, derivadas parciais e derivadas mistas, usando regra do quociente e definição de derivada.
Passo 2
(a) Para (x,y)\neq(0,0) f é quociente de polinômios sem zeros comuns no denominador, logo contínua. Em (0,0) use coordenadas polares x=r\cosθ, y=r\sinθ. O numerador é x y (x^2 - y^2), então |numerador|\le r^2\cdot r2=r4 e o denominador é r^2. Logo
Passo 3
logo f(x,y)\to0=f(0,0). Portanto f é contínua em todo \R^2.
Passo 4
(b) Para (x,y)\neq(0,0) definimos g(x,y)=x^3y - x y^2 e h(x,y)=x2+y2. Pela regra do quociente:
Passo 5
$
Passo 6
e
Passo 7
Passo 8
© Pelas definições:
Passo 9
(d) Para (x,y)\neq(0,0), f_x e f_y são razões de polinômios sem singularidades, logo contínuas ali. Em (0,0) avaliamos limites: f_x(x,y)\to0=f_x(0,0), logo f_x é contínua no origem. Mas f_y(x,y)\xrightarrow[y=x]{r\to0}-\tfrac12\neq0=f_y(0,0), logo f_y não é contínua em (0,0).
Passo 10
(e) Ainda em (x,y)\neq(0,0), aplicamos novamente a regra do quociente a f_x e a f_y para obter as derivadas mistas:
Passo 11
cuja forma explícita sai da diferenciação de
Passo 12
e de
Passo 13
usando a regra do quociente em cada caso.
Passo 14
(f) No origem calculamos via definição:
Passo 15
pois f_y(x,0)=x. Mas
Passo 16
pois f_x(0,y)=-1 para y\neq0. Logo f_{yx}(0,0)\neq f_{xy}(0,0), mostrando que sem continuidade de f_y em torno do origem o teorema de Schwarz falha.
Resposta
a) f é contínua em todo \R^2. b) Para (x,y)\neq(0,0):\\n$
c) f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0. d) f_x é contínua em todo \R^2; f_y falha em ser contínua em (0,0). e) Para (x,y)\neq(0,0), f_{xy} e f_{yx} obtêm-se diferenciando f_x e f_y via regra do quociente (vide detalhamento). f) f_{yx}(0,0)=1, mas f_{xy}(0,0) não existe, logo são diferentes.
c) f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0. d) f_x é contínua em todo \R^2; f_y falha em ser contínua em (0,0). e) Para (x,y)\neq(0,0), f_{xy} e f_{yx} obtêm-se diferenciando f_x e f_y via regra do quociente (vide detalhamento). f) f_{yx}(0,0)=1, mas f_{xy}(0,0) não existe, logo são diferentes.