Sendo a um inteiro qualquer, mostre que:
(a) 2 \mid a(a+1).
(b) 3 \mid a(a+1)(a+2).
(c) k \mid a(a+1)(a+2) \ldots(a+k), onde k \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três divisibilidades envolvendo produtos de inteiros consecutivos. O conteúdo aqui é o princípio de que, em qualquer sequência de inteiros consecutivos, aparece um múltiplo de um dado divisor. Vamos usar argumentos de resto na divisão (resíduos módulo) para cada caso.

Passo 2

Para (a), analisamos a e a+1 módulo 2. Um inteiro a ou é par (resto 0) ou é ímpar (resto 1).
Se a\equiv 0\pmod{2}, então 2\mid a e logo 2\mid a(a+1).
Se a\equiv 1\pmod{2}, então a+1\equiv 0\pmod{2}, ou seja, 2\mid (a+1) e de novo 2\mid a(a+1).
Assim, em qualquer caso 2\mid a(a+1).

Passo 3

Para (b), fazemos análise módulo 3 nos três inteiros a, a+1 e a+2. Há três possíveis resíduos de a\pmod{3}:
— Se a\equiv 0\pmod{3}, então 3\mid a.
— Se a\equiv 1\pmod{3}, então a+2\equiv 0\pmod{3}.
— Se a\equiv 2\pmod{3}, então a+1\equiv 0\pmod{3}.
Em cada caso um dos fatores é múltiplo de 3, portanto 3\mid a(a+1)(a+2).

Passo 4

Para (c), seja k\in\mathbb{N}. Considere os k+1 inteiros consecutivos
a,\;a+1,\;\dots,\;a+k.
Ao dividir a por k obtemos um resto r com 0\le r\le k-1. Então
a\equiv r\pmod{k} \;\Longrightarrow\; a+(k-r)\equiv 0\pmod{k}.
Note que 0\le k-r\le k, então a+(k-r) é um dos fatores do produto a(a+1)\cdots(a+k). Como esse fator é múltiplo de k, segue que
k\mid a(a+1)\cdots(a+k).

Resposta

(a) 2\mid a(a+1).
(b) 3\mid a(a+1)(a+2).
(c) k\mid a(a+1)(a+2)\,\ldots\,(a+k).

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