Sendo
um inteiro qualquer, mostre que:
(a)
.
(b)
.
(c)
, onde
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três divisibilidades envolvendo produtos de inteiros consecutivos. O conteúdo aqui é o princípio de que, em qualquer sequência de inteiros consecutivos, aparece um múltiplo de um dado divisor. Vamos usar argumentos de resto na divisão (resíduos módulo) para cada caso.
Passo 2
Para (a), analisamos
e
módulo 2. Um inteiro
ou é par (resto 0) ou é ímpar (resto 1).
Se , então
e logo
.
Se , então
, ou seja,
e de novo
.
Assim, em qualquer caso .
Se
Se
Assim, em qualquer caso
Passo 3
Para (b), fazemos análise módulo 3 nos três inteiros
,
e
. Há três possíveis resíduos de
:
— Se , então
.
— Se , então
.
— Se , então
.
Em cada caso um dos fatores é múltiplo de 3, portanto .
— Se
— Se
— Se
Em cada caso um dos fatores é múltiplo de 3, portanto
Passo 4
Para (c), seja
. Considere os
inteiros consecutivos
Ao dividir
por
obtemos um resto
com
. Então
Note que
, então
é um dos fatores do produto
. Como esse fator é múltiplo de
, segue que
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)