Sendo A=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right], calcule:
\operatorname{det} A

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz \displaystyle A\in\mathbb{R}^{3\times3} A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e pede para calcular \det A. Vamos usar a regra de Sarrus, que é um método prático para determinantes de matrizes 3\times3.

Passo 2

A regra de Sarrus estabelece que, para
A = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det A = a\,e\,i \;+\; b\,f\,g \;+\; c\,d\,h \;-\;\bigl(c\,e\,g \;+\; a\,f\,h \;+\; b\,d\,i\bigr)

Passo 3

Na nossa matriz, identificamos
a=2,\; b=3,\; c=0,\; d=0,\; e=1,\; f=2,\; g=1,\; h=3,\; i=2.
Substituindo na fórmula,
\det A = 2\cdot1\cdot2 \;+\; 3\cdot2\cdot1 \;+\; 0\cdot0\cdot3 \;-\;\bigl(0\cdot1\cdot1 \;+\; 2\cdot2\cdot3 \;+\; 3\cdot0\cdot2\bigr)

Passo 4

Agora calculamos os produtos:
2\cdot1\cdot2 = 4,\quad 3\cdot2\cdot1 = 6,\quad 0\cdot0\cdot3 = 0,
0\cdot1\cdot1 = 0,\quad 2\cdot2\cdot3 = 12,\quad 3\cdot0\cdot2 = 0.
Portanto,
\det A = (4+6+0) - (0+12+0) = 10 - 12 = -2

Resposta

\det A = -2

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