Sendo F, G e H \in L\left(R^{2}\right) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) \quad e H(x, y)=(0, x), determinar : Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
1°)
H o F o G

Passo 1

O enunciado define três transformações lineares em \mathbb{R}^2:
\displaystyle F(x,y)=(x,2y),
\displaystyle G(x,y)=(y,x+y) e
\displaystyle H(x,y)=(0,x).
Pede-se para a composição
\;T=H\circ F\circ G
determinar \ker(T), \operatorname{Im}(T), bases e dimensões de cada um, e verificar se T é invertível (e, em caso afirmativo, achar T^{-1}).

Passo 2

Vamos calcular T(x,y)=H\bigl(F\bigl(G(x,y)\bigr)\bigr). Primeiro
G(x,y)=(y,\;x+y).
Em seguida
F\bigl(G(x,y)\bigr)=F\bigl(y,\;x+y\bigr)=(y,\;2(x+y))=(y,\;2x+2y).
Por fim
T(x,y)=H\bigl(y,\;2x+2y\bigr)=(0,\;y).
Portanto
T(x,y)=(0,y).

Passo 3

Para encontrar \ker(T), resolvemos
T(x,y)=(0,y)=(0,0)\quad\Longrightarrow\quad y=0,
sem restrição em x. Logo
\ker(T)=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Uma base de \ker(T) é \{(1,0)\} e
\dim\bigl(\ker(T)\bigr)=1.

Passo 4

A imagem de T é o conjunto de todos os vetores de forma (0,y) com y\in\mathbb{R}, isto é,
\operatorname{Im}(T)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
Uma base de \operatorname{Im}(T) é \{(0,1)\} e
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=1.

Passo 5

Como \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=1<2=\dim(\mathbb{R}^2), T não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora. Logo, T não possui inversa.

Resposta

\displaystyle T=H\circ F\circ G é dado por
T(x,y)=(0,y).
\displaystyle \ker(T)=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}, base \{(1,0)\}, \dim=1.
\displaystyle \operatorname{Im}(T)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}, base \{(0,1)\}, \dim=1.
T não é invertível.

Exercícios relacionados