1. Sendo \mathrm{C}_{v} a capacidade térmica a volume constante para um dado gás.
    a) Se \mathrm{C}_{v} for uma constante c, independente da temperatura do gás mostre que a energia interna U é
U=c T+f(V)+U_{0}
onde U_{0} é uma constante a determinar e f(V) traduz uma possível dependência da energia interna com o volume.
b) Determine U para um gás ideal monoatómico ( \mathrm{C}_{v}=3 n R / 2 ) e para um gás ideal diatómico ( \mathrm{C}_{v}=5 n R / 2 ).
c) Para determinar a dependência de U com V, usa-se
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P
considerando \mathrm{C}_{v}=3 n R / 2 encontre a energia interna para o gás de Van der Waals.
d) Considerando S=S(U, \mathrm{~V}) determine a entropia para um gás ideal e para o gás de Van der Waals.

Passo 1

O enunciado trata da relação entre a capacidade térmica a volume constante C_{v} e a energia interna U de um gás, usando a equação diferencial fundamental
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}dV
juntamente com a identidade de Maxwell
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P\,.
Vamos em cada item: (a) integrar em T, (b) aplicar a gases ideais mono e diatómico, (c) usar o P de Van der Waals, (d) obter S(U,V) via
dS = \frac{1}{T}dU + \frac{P}{T}dV\,.

Passo 2

(a) Por definição em volume constante
\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=C_{v}=c.
Logo
dU = c\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}dV.
Integrando em T e absorvendo a parte dependente de V num f(V) e constante U_{0}, vem
U = c\,T + f(V) + U_{0}.

Passo 3

(b) Para um gás ideal monoatómico tem-se C_{v}=\tfrac{3}{2}nR, e para um diatómico C_{v}=\tfrac{5}{2}nR. Como em gás ideal não há dependência de V em U, escolhemos f(V)=0. Assim
U_{\rm mono}=\frac{3}{2}nR\,T + U_{0}, \qquad U_{\rm diat}=\frac{5}{2}nR\,T + U_{0}.

Passo 4

(c) Para Van der Waals
P=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a\,n^{2}}{V^{2}},
logo
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} =\frac{nR}{V-nb}.
Da identidade de Maxwell
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\frac{nR}{V-nb} -\Bigl(\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a\,n^{2}}{V^{2}}\Bigr) =\frac{a\,n^{2}}{V^{2}}.
Integramos em V:
\int \frac{a\,n^{2}}{V^{2}}\,dV =-\frac{a\,n^{2}}{V}+C.
Somando à parte cT com c=\tfrac{3}{2}nR, obtemos
U_{\rm vdW} =\frac{3}{2}nR\,T \;-\;\frac{a\,n^{2}}{V}\;+\;U_{0}.

Passo 5

(d) A partir de
dS=\frac{1}{T}dU+\frac{P}{T}dV
e usando U=cT+f(V) genérico, temos
dS =\frac{c\,dT}{T}+\Bigl(\frac{f'(V)}{T}+\frac{P}{T}\Bigr)dV.
– Gás ideal: P=nRT/V e f'(V)=0, assim
dS=\frac{C_{v}\,dT}{T}+\frac{nR\,dV}{V} \;\Longrightarrow\; S =C_{v}\ln T + nR\ln V + S_{0}.
– Van der Waals: de (c) vimos f'(V)=a n^{2}/V^{2} e P/T=nR/(V-nb)-a n^{2}/(T V^{2}), esses termos de V cancelam e sobra
dS =\frac{C_{v}\,dT}{T}+\frac{nR\,dV}{V-nb} \;\Longrightarrow\; S =C_{v}\ln T + nR\ln\bigl(V-nb\bigr) + S_{0}'.
Para escrever S(U,V), basta usar T=(U+ a n^{2}/V - U_{0})/C_{v}.

Resposta

(a) \displaystyle U=c\,T + f(V)+U_{0}.
(b) \displaystyle U_{\rm mono}=\tfrac{3}{2}nR\,T+U_{0},\quad U_{\rm diat}=\tfrac{5}{2}nR\,T+U_{0}.
(c) \displaystyle U_{\rm vdW}=\tfrac{3}{2}nR\,T - \frac{a\,n^{2}}{V}+U_{0}.
(d) \displaystyle S_{\rm ideal}=C_{v}\ln T + nR\ln V + S_{0},\quad S_{\rm vdW}=C_{v}\ln T + nR\ln(V-nb)+S_{0}'.

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