- Sendo
a capacidade térmica a volume constante para um dado gás.
a) Se
for uma constante
, independente da temperatura do gás mostre que a energia interna
é
onde
é uma constante a determinar e
traduz uma possível dependência da energia interna com o volume.
b) Determine
para um gás ideal monoatómico (
) e para um gás ideal diatómico (
).
c) Para determinar a dependência de
com
, usa-se
considerando
encontre a energia interna para o gás de Van der Waals.
d) Considerando
determine a entropia para um gás ideal e para o gás de Van der Waals.
a) Se
b) Determine
c) Para determinar a dependência de
d) Considerando
Passo 1
O enunciado trata da relação entre a capacidade térmica a volume constante
e a energia interna
de um gás, usando a equação diferencial fundamental
juntamente com a identidade de Maxwell
Vamos em cada item: (a) integrar em
, (b) aplicar a gases ideais mono e diatómico, (c) usar o
de Van der Waals, (d) obter
via
Passo 2
(a) Por definição em volume constante
Logo
Integrando em
e absorvendo a parte dependente de
num
e constante
, vem
Passo 3
(b) Para um gás ideal monoatómico tem-se
, e para um diatómico
. Como em gás ideal não há dependência de
em
, escolhemos
. Assim
Passo 4
(c) Para Van der Waals
logo
Da identidade de Maxwell
Integramos em
:
Somando à parte
com
, obtemos
Passo 5
(d) A partir de
e usando
genérico, temos
– Gás ideal:
e
, assim
– Van der Waals: de (c) vimos
e
, esses termos de
cancelam e sobra
Para escrever
, basta usar
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)