Sejam a pressão, o volume e a temperatura absoluta de uma dada quantidade de um certo gás denotados por P, V, T. Essas variáveis não são independentes, mas estão ligadas por uma equação de forma geral
f(P, V, T)=0
que se chama equação de estado. Essa equação determina qualquer uma das variáveis como uma função das outras duas. Calculando d P e d V e eliminando d V, mostre que
\begin{aligned} & \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}=\frac{1}{(\partial V / \partial P)_{T}}, \\\ & \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}+\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=0 \\\ & \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}=-1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado
f(P,V,T)=0
que relaciona implicitamente P, V e T. O objetivo é usar diferenciação total e a regra da função implícita para obter expressões das derivadas parciais e, a partir delas, provar as três identidades indicadas.

Passo 2

Diferenciando totalmente f(P,V,T)=0 obtemos
df = f_{P}\,dP + f_{V}\,dV + f_{T}\,dT = 0,
onde f_{P}=\partial f/\partial P, f_{V}=\partial f/\partial V e f_{T}=\partial f/\partial T.

Passo 3

Para calcular \bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T} fixamos T constante dT=0 e, da equação acima, surge
f_{P}\,dP + f_{V}\,dV = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dP}{dV}\Big|_{T} = -\frac{f_{V}}{f_{P}}.
Analogamente, ainda em dT=0, vemos que
\frac{dV}{dP}\Big|_{T} = -\frac{f_{P}}{f_{V}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dP}{dV}\Big|_{T} =\frac{1}{\bigl(dV/dP\bigr)_{T}},
o que prova a primeira igualdade.

Passo 4

Agora vamos obter \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V} e \bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P}.
  1. Para \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}, fixamos V dV=0:
f_{P}\,dP + f_{T}\,dT = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dP}{dT}\Big|_{V} = -\frac{f_{T}}{f_{P}}.
  1. Para \bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P}, fixamos P dP=0:
f_{V}\,dV + f_{T}\,dT = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dT}\Big|_{P} = -\frac{f_{T}}{f_{V}}.

Passo 5

Com essas expressões, formamos
\frac{\partial P}{\partial V}\Big|_{T} \;\frac{\partial V}{\partial T}\Big|_{P} +\frac{\partial P}{\partial T}\Big|_{V} =\Bigl(-\tfrac{f_{V}}{f_{P}}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{f_{T}}{f_{V}}\Bigr) +\Bigl(-\tfrac{f_{T}}{f_{P}}\Bigr) =\frac{f_{T}}{f_{P}}-\frac{f_{T}}{f_{P}}=0,
o que demonstra a segunda igualdade.

Passo 6

Finalmente, para \bigl(\partial T/\partial P\bigr)_{V} fixamos V em df=0:
f_{P}\,dP + f_{T}\,dT=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dP}\Big|_{V} = -\frac{f_{P}}{f_{T}}.
O produto triplo fica
\frac{\partial P}{\partial V}\Big|_{T} \;\frac{\partial V}{\partial T}\Big|_{P} \;\frac{\partial T}{\partial P}\Big|_{V} =\Bigl(-\tfrac{f_{V}}{f_{P}}\Bigr) \Bigl(-\tfrac{f_{T}}{f_{V}}\Bigr) \Bigl(-\tfrac{f_{P}}{f_{T}}\Bigr) =-1,
prova da terceira igualdade.

Resposta

\biggl(\frac{\partial P}{\partial V}\biggr)_{T} =\frac{1}{(\partial V/\partial P)_{T}}, \quad \biggl(\frac{\partial P}{\partial V}\biggr)_{T} \bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P} +\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}=0, \quad \biggl(\frac{\partial P}{\partial V}\biggr)_{T} \bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P} \bigl(\partial T/\partial P\bigr)_{V}=-1.

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