Considerando que a energia interna de um fluido puro seja função da entropia
, do volume
e do número de partículas
, ou seja,
comparando com a primeira lei da Termodinâmica
onde o primeiro, o segundo e o terceiro termos são respectivamente, o calor transferido, o trabalho mecânico e o trabalho químico, mostre que:
onde
e
são respectivamente, a temperatura, a pressão e o potencial químico.
Passo 1
O enunciado diz que a energia interna é uma função de estado
e que, pela primeira lei da Termodinâmica, seu diferencial pode ser escrito como
onde
é a temperatura,
a pressão e
o potencial químico. Nosso objetivo é mostrar que esses coeficientes são justamente as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 2
Como
depende das variáveis independentes
,
e
, seu diferencial exato é dado pelo teorema de diferenciação total:
Passo 3
Comparando termo a termo as duas expressões para
:
vemos que, para a igualdade valer independentemente de
,
e
, os coeficientes devem coincidir. Assim:
- O termo que multiplica
dá
- O termo que multiplica
dá
- O termo que multiplica
dá