Considerando que a energia interna de um fluido puro seja função da entropia S, do volume V e do número de partículas N, ou seja, U=U(S, \mathrm{~V}, \mathrm{~N}) comparando com a primeira lei da Termodinâmica
d U=T d s-p d V+\mu d N
onde o primeiro, o segundo e o terceiro termos são respectivamente, o calor transferido, o trabalho mecânico e o trabalho químico, mostre que:
\begin{aligned} T & =\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V, N} \\\ p & =-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S, N} \\\ \mu & =\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S, V} \end{aligned}
onde T, p e \mu são respectivamente, a temperatura, a pressão e o potencial químico.

Passo 1

O enunciado diz que a energia interna é uma função de estado
U = U(S,V,N)
e que, pela primeira lei da Termodinâmica, seu diferencial pode ser escrito como
dU = T\,dS \;-\; p\,dV \;+\; \mu\,dN
onde T é a temperatura, p a pressão e \mu o potencial químico. Nosso objetivo é mostrar que esses coeficientes são justamente as derivadas parciais de U em relação a S, V e N.

Passo 2

Como U depende das variáveis independentes S, V e N, seu diferencial exato é dado pelo teorema de diferenciação total:
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} dS \;+\; \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} dV \;+\; \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} dN.

Passo 3

Comparando termo a termo as duas expressões para dU:
T\,dS \;-\; p\,dV \;+\; \mu\,dN \quad\longleftrightarrow\quad \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} dS \;+\; \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} dV \;+\; \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} dN,
vemos que, para a igualdade valer independentemente de dS, dV e dN, os coeficientes devem coincidir. Assim:
  • O termo que multiplica dS
T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}.
  • O termo que multiplica dV
-p = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} \quad\Longrightarrow\quad p = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}.
  • O termo que multiplica dN
\mu = \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}.

Resposta

T = \displaystyle\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} p = -\displaystyle\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} \mu = \displaystyle\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}

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