Sendo \mathrm{f}^{-1} a função inversa de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{2}+1, então \mathrm{f}^{-1}(4) é igual a:
a) -4
b) 1 / 4
c) 4
d) -3
e)6

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{2}+1 e diz que f^{-1} é a função inversa de f. A pergunta é calcular f^{-1}(4).
Informações relevantes:
  • A função dada é f(x)=\dfrac{x}{2}+1.
  • Quer-se o valor de f^{-1} em 4, ou seja, f^{-1}(4).

Passo 2

O que significa “função inversa”? Uma função g é inversa de f se, ao compor as duas, volta-se ao valor original. Formalmente:
f(g(x))=x\quad\text{e}\quad g(f(x))=x.
No nosso caso g=f^{-1}. Para achar f^{-1} algébrica e convenientemente, a técnica padrão é: escrever y=f(x), resolver essa equação para x em função de y e então trocar y por x para obter a fórmula de f^{-1}(x).

Passo 3

Começo aplicando a técnica: defino
y=f(x)=\frac{x}{2}+1.
Aqui y representa a saída de f associada à entrada x.

Passo 4

Agora isolo x em termos de y. Primeiro subtraio 1 de ambos os lados:
y-1=\frac{x}{2}.

Passo 5

Multiplico ambos os lados por 2 para obter x:
x=2(y-1).
Essa expressão dá x em função de y. Então a inversa vista como função que leva y de volta para x é
f^{-1}(y)=2(y-1).

Passo 6

Por convenção escrevemos a variável da função inversa como x. Assim
f^{-1}(x)=2(x-1).

Passo 7

Agora avalio em 4:
f^{-1}(4)=2(4-1)=2\cdot 3=6.

Passo 8

Verificação rápida (para ter certeza): calculo f(6) e vejo se volta a 4:
f(6)=\frac{6}{2}+1=3+1=4,
o que confirma que f^{-1}(4)=6.

Resposta

6

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