Seja a função f: R \rightarrow R, definida por f(x)=-3 x+4.
a) Obtenha a função inversa f^{-1}.
b) Calcule f(2) e f^{-1}(-3).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • A função é f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=-3x+4.
  • Perguntas:
    (a) Obter a função inversa f^{-1}.
    (b) Calcular f(2) e f^{-1}(-3).
  • Informação útil: a função é linear com coeficiente angular -3 e intercepto 4.

Passo 2

O que é uma função inversa e como achá-la (explicação didática).
  • Intuição: a função inversa desfaz a ação de f. Se y=f(x), então f^{-1}(y)=x.
  • Método padrão para encontrar f^{-1}:
    1. Escrever y=f(x).
    2. Resolver essa equação para x em termos de y.
    3. Trocar os nomes x e y (ou seja, reescrever a expressão obtida como y=f^{-1}(x)).
  • Observação importante: uma função tem inversa sobre \mathbb{R} se for bijetora; para funções lineares ax+b isso ocorre sempre que a\neq0. Aqui a=-3\neq0, então f é invertível.

Passo 3

Aplicando o método: começar por escrever y=f(x).
y = -3x + 4

Passo 4

Resolver a equação anterior para x passo a passo.
y = -3x + 4
Subtrair 4 dos dois lados:
y - 4 = -3x
Dividir por -3:
x = \dfrac{y-4}{-3}
Simplificar o sinal no numerador:
x = \dfrac{4-y}{3}

Passo 5

Trocar x e y para escrever a inversa (passo final do método).
Após a troca obtemos a função inversa:
f^{-1}(x) = \dfrac{4-x}{3}

Passo 6

Calcular f(2) substituindo x=2 na expressão de f.
f(2) = -3\cdot 2 + 4 = -6 + 4 = -2

Passo 7

Calcular f^{-1}(-3) substituindo x=-3 na expressão de f^{-1}.
f^{-1}(-3) = \dfrac{4-(-3)}{3} = \dfrac{4+3}{3} = \dfrac{7}{3}

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para garantir que a inversa está correta): compor f com f^{-1}.
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = -3\cdot\left(\dfrac{4-x}{3}\right)+4 = -(4-x)+4 = -4+x+4 = x,
o que confirma que f^{-1} é de fato a inversa de f.

Resposta

(a) f^{-1}(x)=\dfrac{4-x}{3}
(b) f(2)=-2,\quad f^{-1}(-3)=\dfrac{7}{3}

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