Seja a função
, definida por
.
a) Obtenha a função inversa
.
b) Calcule
e
.
a) Obtenha a função inversa
b) Calcule
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- A função é
definida por . - Perguntas:
(a) Obter a função inversa.
(b) Calculare . - Informação útil: a função é linear com coeficiente angular
e intercepto .
Passo 2
O que é uma função inversa e como achá-la (explicação didática).
- Intuição: a função inversa desfaz a ação de
. Se , então . - Método padrão para encontrar
: - Escrever
. - Resolver essa equação para
em termos de . - Trocar os nomes
e (ou seja, reescrever a expressão obtida como ).
- Escrever
- Observação importante: uma função tem inversa sobre
se for bijetora; para funções lineares isso ocorre sempre que . Aqui , então é invertível.
Passo 3
Aplicando o método: começar por escrever
.
Passo 4
Resolver a equação anterior para
passo a passo.
Subtrair
dos dois lados:
Dividir por
:
Simplificar o sinal no numerador:
Passo 5
Trocar
e
para escrever a inversa (passo final do método).
Após a troca obtemos a função inversa:
Após a troca obtemos a função inversa:
Passo 6
Calcular
substituindo
na expressão de
.
Passo 7
Calcular
substituindo
na expressão de
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para garantir que a inversa está correta): compor
com
.
o que confirma que
é de fato a inversa de
.
Resposta
(a)
(b)