A função inversa da função bijetora \mathrm{f}: \boldsymbol{f}: \boldsymbol{R}-\{-\mathbf{4}\} \rightarrow \boldsymbol{R}-\{\mathbf{2}\} definida por f(x)=\frac{2 x-3}{x+4} é:
a) f^{-1}(x)=(x+4) /(2 x+3)
b) f^{-1}(x)=(x-4) /(2 x-3)
c) f^{-1}(x)=(4 x+3) /(2-x)
d) f^{-1}(x)=(4 x+3) /(x-2)
e) f^{-1}(x)=(4 x+3) /(x+2)

Passo 1

O enunciado dá a função bijetora f:\mathbb{R}\setminus\{-4\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\} definida por
f(x)=\frac{2x-3}{x+4}.
O que é pedido: determinar a função inversa f^{-1}, ou seja, encontrar uma expressão que, dada uma saída y da função f, retorne o x original tal que f(x)=y. Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio de f: \mathbb{R}\setminus\{-4\} (portanto x\neq -4 ao aplicar f).
  • Contradomínio/valor excluído: \mathbb{R}\setminus\{2\} (ou seja, f(x)\neq 2 para todo x do domínio).
  • Fórmula explícita de f: f(x)=\dfrac{2x-3}{x+4}.

Passo 2

Estratégia prática (explicação didática do procedimento que vou aplicar agora): para encontrar a inversa, escrevo y=f(x) e resolvo essa equação para x em termos de y. Depois troco y por x para obter f^{-1}(x). Agora aplico isso passo a passo.
Começo por escrever
y=\frac{2x-3}{x+4}.
Multiplico ambos os lados por x+4 (isso é válido porque na definição de f já temos x\neq -4, então x+4\neq0):
y(x+4)=2x-3.
Distribuo o y no lado esquerdo:
yx+4y=2x-3.
Agora reúno os termos que contêm x no mesmo lado e os demais no outro lado:
yx-2x=-3-4y.
Fatoro x no lado esquerdo:
x(y-2)=-3-4y.
Como y\neq 2 (lembre: 2 está excluído do contradomínio de f), posso dividir por y-2 e obter:
x=\frac{-3-4y}{y-2}.
Para deixar a expressão com sinal mais agradável, multiplico numerador e denominador por -1; isso não altera o valor:
x=\frac{4y+3}{2-y}.

Passo 3

Agora troco os papéis de x e y (porque a inversa toma como entrada o valor que antes era a saída). Assim obtenho a fórmula da inversa:
f^{-1}(x)=\frac{4x+3}{2-x}.
Explicando didaticamente: trocar x e y significa que onde antes eu tinha a saída y em função da entrada x, agora quero expressar a entrada original em função da nova variável de entrada (que chamei de x novamente) — é isso que define a função inversa.

Passo 4

Verificações e observações importantes (para usar na prova):
  • Domínio de f^{-1}: devemos ter 2-x\neq0, ou seja, x\neq 2. Isso coincide com o fato dado no enunciado de que 2 está excluído do contradomínio de f.
  • Imagem de f^{-1}: não toma o valor -4 (pode-se verificar resolvendo \dfrac{4x+3}{2-x}=-4 e confirmando que não há solução), o que combina com o domínio original de f.
  • Forma alternativa equivalente: a expressão f^{-1}(x)=\dfrac{4x+3}{2-x} também pode ser escrita como f^{-1}(x)=-\dfrac{4x+3}{x-2}, mas entre as opções do enunciado a correspondência exata é com a primeira forma.

Resposta

c) f^{-1}(x)=\dfrac{4x+3}{2-x}

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