A função inversa da função bijetora
definida por
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função bijetora
definida por
O que é pedido: determinar a função inversa
, ou seja, encontrar uma expressão que, dada uma saída
da função
, retorne o
original tal que
. Informações relevantes fornecidas:
- Domínio de
: (portanto ao aplicar ). - Contradomínio/valor excluído:
(ou seja, para todo do domínio). - Fórmula explícita de
: .
Passo 2
Estratégia prática (explicação didática do procedimento que vou aplicar agora): para encontrar a inversa, escrevo
e resolvo essa equação para
em termos de
. Depois troco
por
para obter
. Agora aplico isso passo a passo.
Começo por escrever
Multiplico ambos os lados por
(isso é válido porque na definição de
já temos
, então
):
Distribuo o
no lado esquerdo:
Agora reúno os termos que contêm
no mesmo lado e os demais no outro lado:
Fatoro
no lado esquerdo:
Como
(lembre:
está excluído do contradomínio de
), posso dividir por
e obter:
Para deixar a expressão com sinal mais agradável, multiplico numerador e denominador por
; isso não altera o valor:
Passo 3
Agora troco os papéis de
e
(porque a inversa toma como entrada o valor que antes era a saída). Assim obtenho a fórmula da inversa:
Explicando didaticamente: trocar
e
significa que onde antes eu tinha a saída
em função da entrada
, agora quero expressar a entrada original em função da nova variável de entrada (que chamei de
novamente) — é isso que define a função inversa.
Passo 4
Verificações e observações importantes (para usar na prova):
- Domínio de
: devemos ter , ou seja, . Isso coincide com o fato dado no enunciado de que está excluído do contradomínio de . - Imagem de
: não toma o valor (pode-se verificar resolvendo e confirmando que não há solução), o que combina com o domínio original de . - Forma alternativa equivalente: a expressão
também pode ser escrita como , mas entre as opções do enunciado a correspondência exata é com a primeira forma.
Resposta
c)