1. Sendo \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right] e \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 2 & 5\end{array}\right], verifique que (A B)^{t}=B^{t} . A^{t}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ 2 & 5\end{pmatrix}
e pede para verificar a propriedade
(AB)^{t} \;=\; B^{t}\,A^{t}.
Vamos usar multiplicação de matrizes e a definição de transposta.

Passo 2

Calculamos o produto AB:
AB = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ 2 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot3 + 2\cdot2 & 1\cdot(-1) + 2\cdot5 \\[6pt] 3\cdot3 + (-1)\cdot2 & 3\cdot(-1) + (-1)\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 9 \\\\ 7 & -8\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora tiramos a transposta de AB:
(AB)^{t} = \begin{pmatrix}7 & 9 \\\\ 7 & -8\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}7 & 7 \\\\ 9 & -8\end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, calculamos B^{t} e A^{t} separadamente:
B^{t} = \begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ 2 & 5\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -1 & 5\end{pmatrix}, \quad A^{t} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicamos B^{t} por A^{t}:
B^{t}A^{t} = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 + 2\cdot2 & 3\cdot3 + 2\cdot(-1) \\[6pt] (-1)\cdot1 + 5\cdot2 & (-1)\cdot3 + 5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 7 \\\\ 9 & -8\end{pmatrix}.
Observamos que esse resultado coincide exatamente com (AB)^{t}.]

Resposta

Portanto, está verificado que
(AB)^{t} = B^{t}\,A^{t}.

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