Sendo \mathscr{L} a transformada de Laplace, e \mathscr{L}^{-1} a sua inversa,
Calcule
\mathscr{L}\left\{\int_{0}^{t} \cos 3(t-\tau) d \tau\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
\int_{0}^{t}\cos\bigl(3(t-\tau)\bigr)\,d\tau.
Podemos resolver isso de duas formas principais: (i) calcular primeiro a integral em função de t e depois aplicar a transformada, ou (ii) reconhecer que isso é uma convolução entre f(t)=\cos(3t) e g(t)=1 e usar o teorema da convolução.

Passo 2

Vamos calcular a integral diretamente por mudança de variável. Defina
u = t-\tau, \quad d u = -d\tau.
Quando \tau=0, u=t; quando \tau=t, u=0. Logo
\int_{0}^{t}\cos\bigl(3(t-\tau)\bigr)\,d\tau =\int_{u=t}^{u=0}\cos(3u)\,(-du) =\int_{0}^{t}\cos(3u)\,du =\left.\frac{\sin(3u)}{3}\right|_{0}^{t} =\frac{\sin(3t)}{3}.

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace em \tfrac{\sin(3t)}{3}. Sabemos que
\mathscr{L}\{\sin(3t)\} = \frac{3}{s^{2}+9},
então
\mathscr{L}\Bigl\{\tfrac{\sin(3t)}{3}\Bigr\} =\frac{1}{3}\,\frac{3}{s^{2}+9} =\frac{1}{s^{2}+9}.

Resposta

\mathscr{L}\Bigl\{\int_{0}^{t}\cos\bigl(3(t-\tau)\bigr)\,d\tau\Bigr\} =\frac{1}{s^{2}+9}.

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