12.14 Resolva para
:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de terceira ordem
com condições iniciais
O conteúdo aqui é resolver EDO linear com coeficientes constantes via método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois dois particulares (um para o termo constante e outro para
), e finalmente ajustamos as constantes pela condição inicial.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
cujas raízes são
,
e
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para o termo constante
, como
já é raiz simples, tentamos
Calculando derivadas:
e substituindo em
dá
Logo
Passo 4
Para o termo
, como
é raiz simples, tentamos
Derivando:
Substituindo em
e igualando a
:
Assim
Passo 5
A solução geral da não homogênea é
Passo 6
Agora usamos as condições iniciais. Calculamos
e
:
Em
temos o sistema
Dessa forma encontra-se
Resposta
A solução do problema de valor inicial é