Utilizando, obrigatoriamente, transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
12.16 Resolva
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+3 x=\operatorname{sen}(3 t), \quad x(0)=1
usando transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+3x=\operatorname{sen}(3t),\quad x(0)=1
usando transformada de Laplace. O conteúdo aplicado é a transformada de Laplace de derivadas e funções trigonométricas, além de decomposição em frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}. Usando
\mathcal{L}\{x'\}=sX(s)-x(0),\quad \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(3t)\}=\frac{3}{s^2+9},
temos
sX(s)-1+3X(s)=\frac{3}{s^2+9} \quad\Longrightarrow\quad X(s)(s+3)=1+\frac{3}{s^2+9}.
Logo
X(s)=\frac{1}{s+3}+\frac{3}{(s+3)(s^2+9)}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em
\frac{3}{(s+3)(s^2+9)} =\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^2+9}.
Temos
A(s^2+9)+(Bs+C)(s+3)=3.
Comparando coeficientes:
A+B=0,\quad 3B+C=0,\quad 9A+3C=3
resolve-se A=\tfrac{1}{6}, B=-\tfrac{1}{6}, C=\tfrac{1}{2}. Então
X(s) =\frac{1}{s+3}+\frac{1/6}{s+3}+\frac{-\tfrac{1}{6}s+\tfrac{1}{2}}{s^2+9} =\frac{7/6}{s+3}-\frac{1/6\,s}{s^2+9}+\frac{1/2}{s^2+9}.

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{7/6}{s+3}\Big\} =\frac{7}{6}e^{-3t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{-\frac{1/6\,s}{s^2+9}\Big\} =-\frac{1}{6}\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1/2}{s^2+9}\Big\} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\operatorname{sen}(3t) =\frac{1}{6}\operatorname{sen}(3t).
Somando,
x(t)=\frac{7}{6}e^{-3t}-\frac{1}{6}\cos(3t)+\frac{1}{6}\operatorname{sen}(3t).

Resposta

x(t)=\frac{7e^{-3t}-\cos(3t)+\operatorname{sen}(3t)}{6}.

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