Sendo n, p \in \mathbb{N}^{*}, \operatorname{com} p \leq n. Mostre que:
\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\binom{n}{p}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para n,p\in\mathbb{N}^* com p\le n, vale a identidade combinatória
\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\binom{n}{p}.
O conteúdo aqui é coeficiente binomial e argumento de contagem por partição de casos.

Passo 2

Lembramos que \binom{n}{p} é o número de maneiras de escolher p elementos de um conjunto com n elementos distintos. Vamos contar essas escolhas separando em dois casos, de forma que a soma desses casos cubra todas as escolhas possíveis.

Passo 3

Caso 1: as combinações que incluem um elemento fixo (por exemplo, o elemento de índice n). Se esse elemento está presente, restam p-1 vagas para preencher entre os outros n-1 elementos. Logo, o número de combinações desse tipo é
\binom{n-1}{p-1}.

Passo 4

Caso 2: as combinações que não incluem esse mesmo elemento fixo. Nesse caso, temos que escolher os p elementos apenas entre os n-1 restantes, o que dá
\binom{n-1}{p}.

Passo 5

Como todo subconjunto de tamanho p ou inclui o elemento n (Caso 1) ou não o inclui (Caso 2), o total de escolhas é a soma dos dois casos:
\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}.
Mas esse total é justamente \binom{n}{p}. Assim, concluímos a identidade desejada.

Resposta

\displaystyle \binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\binom{n}{p}.

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