Sendo x e y números reais, marque a alternativa que apresenta o resultado para a soma x+y.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y=5 \\\ x^{6}+6 x^{5} y+15 x^{4} y^{2}+20 x^{3} y^{3}+15 x^{2} y^{4}+6 x y^{5}+y^{6}=64 \end{array}\right.
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma (x+y)\) sabendo que \(x\) e \(y\) são números reais e que valem as duas equações: \[\begin{cases} x+2y=5\\[4pt] x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}=64 \end{cases}
As informações relevantes são:
  • A primeira é uma equação linear: (x+2y=5)\]. - A segunda é um polinômio de grau 6 em \(x e y.
    A questão única é: qual é o valor de (x+y)?]

Passo 2

Vou reconhecer a forma do polinômio da segunda equação. Lembra da fórmula do binômio de Newton? Ela diz que, para n inteiro não negativo,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial. Para n=6 os coeficientes são \binom{6}{0}=1,\binom{6}{1}=6,\binom{6}{2}=15,\binom{6}{3}=20,\binom{6}{4}=15,\binom{6}{5}=6,\binom{6}{6}=1. Portanto
(x+y)^{6}=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}.
Note que isso é exatamente o polinômio dado na segunda equação. Logo podemos reescrever a segunda equação como
(x+y)^{6}=64.

Passo 3

Agora resolvemos a equação (x+y)^{6}=64. Seja t=x+y. Temos
t^{6}=64.
Como 64=2^{6}, procuramos os t reais tais que t^{6}=2^{6}. Para potências com expoente par, tanto t=2 quanto t=-2 satisfazem. Portanto
x+y\in\{2,\,-2\}.
Observação didática: quando um número elevado a uma potência par dá um valor positivo, há duas raízes reais (positiva e negativa). Assim não podemos descartar nenhum dos sinais sem usar outra equação.

Passo 4

Agora usamos a equação linear (x+2y=5) para ver quais desses valores de x+y são compatíveis com x e y reais. Subtraindo (x+y) de (x+2y) obtemos y:
(x+2y)-(x+y)=y.
Logo
y=5-(x+y).
Vamos analisar cada caso.

Passo 5

Caso 1: suponha x+y=2.
y=5-(x+y)=5-2=3.
Então x=(x+y)-y=2-3=-1.
Verificação: (x,y)=(-1,3) (x+y)=2 e (x+y)^{6}=2^{6}=64. Esse par é real e satisfaz ambas as equações.

Passo 6

Caso 2: suponha x+y=-2.
y=5-(x+y)=5-(-2)=7.
Então x=(x+y)-y=-2-7=-9.
Verificação: (x,y)=(-9,7) (x+y)=-2 e (x+y)^{6}=(-2)^{6}=64. Esse par também é real e satisfaz ambas as equações.

Passo 7

Conclusão lógica: existem duas somas possíveis compatíveis com as duas equações, x+y=2 e x+y=-2; ambas conduzem a pares (x,y) reais que satisfazem o sistema. Portanto matematicamente a soma não é única, tem dois valores possíveis.

Passo 8

Como a questão é de múltipla escolha e só podemos escolher uma alternativa entre as dadas (A)\; -2,\;(B)\; -1,\;\text{(C)}\; 0,\;(D)\; 1, observamos que o único valor dentre as opções que aparece entre os possíveis é -2. Assim, entre as alternativas oferecidas, a correta é a que apresenta -2.

Resposta

(A) -2

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