09 O lado de um quadrado mede 4 cm . Unindo os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo quadrado. Unindo os pontos médios do novo quadrado, obtém-se outro quadrado, e assim sucessivamente. Calcule a soma dos perímetros, em centímetros, de todos os quadrados citados:
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma soma:
- Um quadrado inicial tem lado igual a
cm. - Unindo os pontos médios dos lados de um quadrado obtém‑se um novo quadrado (isto se repete infinitamente).
- Queremos calcular a soma dos perímetros de todos os quadrados gerados (o inicial e todos os subsequentes).
Informações relevantes listadas: lado inicialcm; cada novo quadrado é formado pelos pontos médios do anterior; devemos somar todos os perímetros (infinito, em teoria).
Passo 2
Vamos achar a relação entre o lado de um quadrado qualquer e o lado do quadrado formado pelos pontos médios.
Considere um quadrado de lado . Colocando coordenadas para visualizar (isso facilita e é fácil de reproduzir na prova): vértices em
. Os pontos médios de dois lados consecutivos são, por exemplo,
e
.
A distância entre esses pontos é o lado do novo quadrado. Calculamos essa distância:
Considere um quadrado de lado
A distância entre esses pontos é o lado do novo quadrado. Calculamos essa distância:
Simplificando dentro da raiz (devagarinho):
logo
Portanto, cada vez que formamos o quadrado dos pontos médios, o novo lado vale
.
Passo 3
Agora vamos traduzir isso para os perímetros. O perímetro de um quadrado de lado
é
.
Se o lado passa a ser , o novo perímetro será
Se o lado passa a ser
Comparando com o perímetro anterior
, a razão entre perímetros sucessivos é
Ou seja, cada perímetro novo é
vezes o perímetro anterior.
Passo 4
Vamos calcular os primeiros perímetros como cheque rápido (com o lado inicial
):
Perímetro inicial
Perímetro inicial
Perímetro do primeiro quadrado formado pelos pontos médios
Perímetro seguinte
e por aí vai. Isso confirma a sucessão geométrica de razão
.
Passo 5
Como temos uma progressão geométrica infinita de primeiro termo
e razão
com
, a soma infinita é dada por
Agora vamos simplificar essa expressão algebricamente para ficar numa forma sem denominador irracional:
Racionalizando multiplicando numerador e denominador por
:
Como
, obtemos
Calculando os termos:
Passo 6
Combinando os termos obtidos no passo anterior, a soma final em forma simplificada é
.
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (D).
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (D).
Resposta
(D)