09 O lado de um quadrado mede 4 cm . Unindo os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo quadrado. Unindo os pontos médios do novo quadrado, obtém-se outro quadrado, e assim sucessivamente. Calcule a soma dos perímetros, em centímetros, de todos os quadrados citados:
(A) 8+16 \sqrt{2}
(B) 16+8 \sqrt{2}
(C) 16+32 \sqrt{2}
(D) 32+16 \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma soma:
  • Um quadrado inicial tem lado igual a \,4 cm.
  • Unindo os pontos médios dos lados de um quadrado obtém‑se um novo quadrado (isto se repete infinitamente).
  • Queremos calcular a soma dos perímetros de todos os quadrados gerados (o inicial e todos os subsequentes).
    Informações relevantes listadas: lado inicial \,4 cm; cada novo quadrado é formado pelos pontos médios do anterior; devemos somar todos os perímetros (infinito, em teoria).

Passo 2

Vamos achar a relação entre o lado de um quadrado qualquer e o lado do quadrado formado pelos pontos médios.
Considere um quadrado de lado \,s. Colocando coordenadas para visualizar (isso facilita e é fácil de reproduzir na prova): vértices em (0,0),(s,0),(s,s),(0,s). Os pontos médios de dois lados consecutivos são, por exemplo, (s/2,0) e (s,s/2).
A distância entre esses pontos é o lado do novo quadrado. Calculamos essa distância:
\text{lado novo} = \sqrt{\left(\frac{s}{2}-s\right)^2 + \left(0-\frac{s}{2}\right)^2}.
Simplificando dentro da raiz (devagarinho):
\frac{s}{2}-s = -\frac{s}{2},
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\text{lado novo} = \sqrt{\left(-\frac{s}{2}\right)^2 + \left(-\frac{s}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{s^2}{4} + \frac{s^2}{4}} = \sqrt{\frac{s^2}{2}} = \frac{s}{\sqrt{2}}.
Portanto, cada vez que formamos o quadrado dos pontos médios, o novo lado vale \,\dfrac{s}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Agora vamos traduzir isso para os perímetros. O perímetro de um quadrado de lado \,s é \,4s.
Se o lado passa a ser \dfrac{s}{\sqrt{2}}, o novo perímetro será
4\cdot\frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{4s}{\sqrt{2}} = \frac{4s}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}\,s}{2} = 2\sqrt{2}\,s.
Comparando com o perímetro anterior 4s, a razão entre perímetros sucessivos é
r = \frac{2\sqrt{2}\,s}{4s} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Ou seja, cada perímetro novo é \dfrac{1}{\sqrt{2}} vezes o perímetro anterior.

Passo 4

Vamos calcular os primeiros perímetros como cheque rápido (com o lado inicial s_0=4):
Perímetro inicial
P_0 = 4s_0 = 4\cdot 4 = 16.
Perímetro do primeiro quadrado formado pelos pontos médios
P_1 = P_0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 16\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}.
Perímetro seguinte
P_2 = P_1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 8,
e por aí vai. Isso confirma a sucessão geométrica de razão r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Como temos uma progressão geométrica infinita de primeiro termo P_0=16 e razão r=\dfrac{1}{\sqrt{2}} com |r|<1, a soma infinita é dada por
S = \frac{P_0}{1-r} = \frac{16}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.
Agora vamos simplificar essa expressão algebricamente para ficar numa forma sem denominador irracional:
S = \frac{16}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{16}{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = 16\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}.
Racionalizando multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}+1:
S = 16\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = 16\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}.
Como 2-1=1, obtemos
S = 16\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + 16\sqrt{2}\cdot 1.
Calculando os termos:
16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 16\cdot 2 = 32,
16\sqrt{2}\cdot 1 = 16\sqrt{2}.

Passo 6

Combinando os termos obtidos no passo anterior, a soma final em forma simplificada é 32 + 16\sqrt{2}.
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) 32+16\sqrt{2}

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