Sendo
e
e
o ângulo entre
e
, determine
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados:
, e o ângulo entre e é . - Pedido: determinar
.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática): uma forma prática de achar o comprimento do vetor soma é calcular o quadrado desse comprimento e depois tirar a raiz. Para qualquer vetor
vale
(produto escalar de
por ele mesmo dá o quadrado da norma). Aplicando isso à soma, temos
Vou usar propriedades do produto escalar para desenvolver isso.
Passo 3
Propriedade do produto escalar que usaremos: o produto escalar é bilinear e comutativo, então
Além disso
e
. Outra relação importante (e muito usada em prova) é a ligação entre produto escalar e ângulo:
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui
.
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos. Primeiro calcule
:
Lembre-se que
. Portanto
Passo 5
Agora calcule
usando a fórmula do Passo 3:
Substituindo os números:
Passo 6
Finalmente, a norma é a raiz quadrada de
:
Comentário rápido e motivador: como o ângulo é maior que
,
e
“se opõem” em parte, o que faz o comprimento da soma ser menor que a soma das normas, e aqui deu
.