Sendo |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u}e \vec{v}, determine
|\vec{u}+\vec{v}|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: |\vec{u}|=2, |\vec{v}|=3 e o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 120^\circ.
  • Pedido: determinar |\vec{u}+\vec{v}|.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): uma forma prática de achar o comprimento do vetor soma é calcular o quadrado desse comprimento e depois tirar a raiz. Para qualquer vetor \vec{w} vale |\vec{w}|^2=\vec{w}\cdot\vec{w} (produto escalar de \vec{w} por ele mesmo dá o quadrado da norma). Aplicando isso à soma, temos
|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}).
Vou usar propriedades do produto escalar para desenvolver isso.

Passo 3

Propriedade do produto escalar que usaremos: o produto escalar é bilinear e comutativo, então
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}.
Além disso \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2 e \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2. Outra relação importante (e muito usada em prova) é a ligação entre produto escalar e ângulo:
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui \theta=120^\circ.

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos. Primeiro calcule \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos(120^\circ)=2\cdot 3\cdot \cos(120^\circ).
Lembre-se que \cos(120^\circ)=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos(60^\circ)=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)= -3.

Passo 5

Agora calcule |\vec{u}+\vec{v}|^2 usando a fórmula do Passo 3:
|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2.
Substituindo os números:
|\vec{u}+\vec{v}|^2=2^2 + 2\cdot(-3) + 3^2 = 4 - 6 + 9 = 7.

Passo 6

Finalmente, a norma é a raiz quadrada de 7:
|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{7}.
Comentário rápido e motivador: como o ângulo é maior que 90^\circ, \vec{u} e \vec{v} “se opõem” em parte, o que faz o comprimento da soma ser menor que a soma das normas, e aqui deu \sqrt{7}.

Resposta

\sqrt{7}

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