2 Dado o vetor \vec{u}=(-2,1), determinar o vetor paralelo a \vec{u} \mathbf{e} que tenha 5 vezes o seu módulo

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=(-2,1) e pede: determinar um vetor paralelo a \vec{u} que tenha 5 vezes o seu módulo.\n
Informações relevantes:
\vec{u}=(-2,1).
Queremos um vetor \vec{v} paralelo a \vec{u} tal que ||\vec{v}|| = 5\,||\vec{u}||.

Passo 2

Entendendo “paralelo”: dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um escalar k tal que
\vec{v}=k\vec{u}.
Isso significa que para achar vetores paralelos a \vec{u} basta multiplicar \vec{u} por um número k. Exemplo rápido: se \vec{w}=(1,0) e multiplicamos por 2, obtemos 2\vec{w}=(2,0), que é paralelo a \vec{w} e tem o dobro do módulo.

Passo 3

Entendendo módulo (norma) e sua relação com multiplicação escalar: para qualquer vetor \vec{u} e escalar k vale
||k\vec{u}|| = |k|\,||\vec{u}||.
Aqui ||\vec{u}|| é o comprimento do vetor \vec{u}, calculado em \mathbb{R}^2 por
||\vec{u}|| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}.
No nosso caso, com \vec{u}=(-2,1),
||\vec{u}|| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}.

Passo 4

Como queremos ||\vec{v}|| = 5\,||\vec{u}|| e assumimos \vec{v}=k\vec{u}, substituindo na relação do passo anterior temos
|k|\,||\vec{u}|| = 5\,||\vec{u}||.
Como ||\vec{u}||=\sqrt{5}\neq 0, podemos dividir ambos os lados por ||\vec{u}|| e obter
|k| = 5.
Isso implica que
k = 5 \quad\text{ou}\quad k = -5.
Ou seja, existem dois escalares que dão um vetor paralelo com módulo cinco vezes maior: 5 (mesma direção) e -5 (direção oposta).

Passo 5

Agora calculamos explicitamente os vetores:
Para k=5,
\vec{v}_1 = 5\vec{u} = 5(-2,1) = (-10,5).
Para k=-5,
\vec{v}_2 = -5\vec{u} = -5(-2,1) = (10,-5).

Passo 6

Verificação rápida dos módulos para confirmar:
||\vec{v}_1|| = \sqrt{(-10)^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} = 5\,||\vec{u}||,
e o mesmo vale para \vec{v}_2 (porque |-5|=5). Portanto ambos satisfazem a condição pedida; são paralelos a \vec{u} e têm módulo igual a 5 vezes o de \vec{u}.

Resposta

\vec{v}=5\vec{u}=(-10,5)\n
\vec{v}=-5\vec{u}=(10,-5)

Exercícios relacionados