Sendo |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u}e \vec{v}, determine
|\vec{u}-\vec{v}|

Passo 1

Dados fornecidos:
|\vec{u}|=2
|\vec{v}|=3
\text{o ângulo entre }\vec{u}\text{ e }\vec{v}\text{ é }120^\circâé
O que o problema pede: determinar
|\vec{u}-\vec{v}|.

Passo 2

Vamos usar uma identidade que relaciona norma e produto escalar. Primeiro, defino o produto escalar: para dois vetores \vec{a} e \vec{b} com ângulo \theta entre eles,
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\;|\vec{b}|\cos\theta.
Também vale que o quadrado da norma de um vetor é o produto escalar do vetor consigo mesmo:
|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}.
Agora aplicamos isso a \vec{u}-\vec{v}:
|\vec{u}-\vec{v}|^2=(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).
Expandindo o produto escalar, usando linearidade,
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}-2\vec{u}\cdot\vec{v}.
Substituindo \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2 e \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2 e \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta, obtemos a fórmula prática:
|\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta.
Essa fórmula é análoga ao teorema de cossenos aplicado ao triângulo formado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.

Passo 3

Agora calculo \cos 120^\circ. Sabemos que 120^\circ=180^\circ-60^\circ e que \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha. Como \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, segue:
\cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Substituo os valores na fórmula:
|\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos 120^\circ.
Calculando cada termo:
|\vec{u}|^2=2^2=4,
|\vec{v}|^2=3^2=9,
-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos 120^\circ=-2\cdot 2\cdot 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)= -12\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=6.
Somando:
|\vec{u}-\vec{v}|^2=4+9+6=19.

Passo 5

Tomo a raiz quadrada para obter a norma:
|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{19}.
(Como checagem rápida, \sqrt{19}\approx 4,36, o que faz sentido numericamente: é maior que |\vec{v}|=3 e menor que a soma 2+3=5.)

Resposta

\sqrt{19}

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