Sendo \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, calcule:
\vec{u} \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
  • Sabemos que \|\vec{u}\|=2.
  • Sabemos que \|\vec{v}\|=3.
  • Sabemos que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 120^\circ.
  • O que é pedido: calcular \vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula fundamental que liga produto escalar, normas e ângulo entre vetores:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta.
Explicando essa fórmula de forma bem direta:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u}.
  • \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{v}.
  • \theta é o ângulo entre os vetores, aqui \theta=120^\circ.
    Geometricamente, essa fórmula diz que o produto escalar é o produto das normas vezes o cosseno do ângulo — você pode pensar que é o comprimento de \vec{u} vezes a projeção de \vec{v} na direção de \vec{u}, ou vice-versa.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores dados:
Substituímos \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3 e \theta=120^\circ na expressão
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 3\cdot \cos(120^\circ).

Passo 4

Agora precisamos do valor de \cos(120^\circ). Usamos uma identidade de ângulos no círculo trigonométrico:
\cos(120^\circ)=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos(60^\circ).
E sabemos que
\cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2},
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\cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Voltando ao cálculo do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 3\cdot \Big(-\tfrac{1}{2}\Big).
Façamos as contas passo a passo: primeiro 2\cdot 3=6, depois 6\cdot (-\tfrac{1}{2}) = -3.

Passo 6

Interpretação rápida para fixar: o ângulo 120^\circ é maior que 90^\circ, então os vetores apontam em direções mais opostas do que próximas, portanto o produto escalar é negativo. O valor numérico -3 condiz com normas pequenas (2 e 3) e com um cosseno -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-3

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