Sendo
e
o ângulo entre
e
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
- Sabemos que
. - Sabemos que
. - Sabemos que o ângulo entre
e é . - O que é pedido: calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula fundamental que liga produto escalar, normas e ângulo entre vetores:
Explicando essa fórmula de forma bem direta:
-
é o produto escalar entre os vetores e . -
é o comprimento (norma) do vetor . -
é o comprimento (norma) do vetor . -
é o ângulo entre os vetores, aqui .
Geometricamente, essa fórmula diz que o produto escalar é o produto das normas vezes o cosseno do ângulo — você pode pensar que é o comprimento devezes a projeção de na direção de , ou vice-versa.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os valores dados:
Substituímos ,
e
na expressão
Substituímos
Passo 4
Agora precisamos do valor de
. Usamos uma identidade de ângulos no círculo trigonométrico:
E sabemos que
logo
Passo 5
Voltando ao cálculo do produto escalar:
Façamos as contas passo a passo: primeiro
, depois
.
Passo 6
Interpretação rápida para fixar: o ângulo
é maior que
, então os vetores apontam em direções mais opostas do que próximas, portanto o produto escalar é negativo. O valor numérico
condiz com normas pequenas (2 e 3) e com um cosseno
.