Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{w} \times \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores, entre os quais usaremos \vec{w} e \vec{v}. Vou listar as informações importantes e dizer o que é pedido:
  • Vetores fornecidos: \vec{u}=(1,4,3),\quad \vec{v}=(-1,1,-1),\quad \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right),\quad \vec{z}=(-1,2,-3).
  • O que pediram: calcular \vec{w}\times\vec{v}.

Passo 2

O que é o produto vetorial? Para dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos e dado pela regra de determinante envolvendo os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. A fórmula prática para calcular é:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Traduzindo essa determinante em componentes (fórmula explícita):
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aqui cada parcela significa: por exemplo, a primeira componente é a_2b_3-a_3b_2. Vou aplicar essa fórmula com \vec{a}=\vec{w} e \vec{b}=\vec{v}.

Passo 3

Identifico as componentes de \vec{w} e \vec{v}:
\vec{w}=\bigl(w_1,w_2,w_3\bigr)=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right),\qquad \vec{v}=\bigl(v_1,v_2,v_3\bigr)=(-1,1,-1).
Calculamos a primeira componente (componente x):
(\vec{w}\times\vec{v})_1 = w_2v_3 - w_3v_2.
Substituindo:
(\vec{w}\times\vec{v})_1 = \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(-1) - 5\cdot 1 = \tfrac{1}{2} - 5 = -\tfrac{9}{2}.

Passo 4

Agora a segunda componente (componente y):
(\vec{w}\times\vec{v})_2 = w_3v_1 - w_1v_3.
Substituindo:
(\vec{w}\times\vec{v})_2 = 5\cdot(-1) - (-2)\cdot(-1) = -5 - 2 = -7.
Observação rápida: se você usar a regra do determinante com o sinal para \mathbf{j}, isso dá o mesmo resultado (lembre do sinal negativo que aparece na expansão).

Passo 5

Agora a terceira componente (componente z):
(\vec{w}\times\vec{v})_3 = w_1v_2 - w_2v_1.
Substituindo:
(\vec{w}\times\vec{v})_3 = (-2)\cdot 1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(-1) = -2 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{5}{2}.

Passo 6

Juntando as três componentes, obtemos:
\vec{w}\times\vec{v} = \left(-\tfrac{9}{2},\,-7,\,-\tfrac{5}{2}\right).
Para conferir que não erramos, podemos verificar rapidamente que esse resultado é ortogonal a \vec{v} e a \vec{w} fazendo produto escalar:
  • Produto escalar com \vec{v}:
\left(-\tfrac{9}{2}\right)(-1)+(-7)(1)+\left(-\tfrac{5}{2}\right)(-1)=\tfrac{9}{2}-7+\tfrac{5}{2}=0.
  • Produto escalar com \vec{w}:
\left(-\tfrac{9}{2}\right)(-2)+(-7)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+\left(-\tfrac{5}{2}\right)5=9+\tfrac{7}{2}-\tfrac{25}{2}=0.
Ambos dão zero, confirmando que o vetor resultante é perpendicular aos dois originais, como deve ser.

Resposta

\left(-\tfrac{9}{2},-7,-\tfrac{5}{2}\right)

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