Sendo a pressão \mathrm{P}_{8} mantida igual a 532 kPa constante, determinar a potência da bomba de rendimento 0,7 \mathrm{e} a pressão na entrada dela se a vazão for 40 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Dados: tubos de ferro galvanizado ( \mathrm{k}=0,15 \times 10^{-3} \mathrm{~m} ). Sendo:
\mathrm{K}_{\mathrm{s} 1}=15 ; \mathrm{k}_{\mathrm{s} 2}=\mathrm{k}_{\mathrm{s} 6}=0,9 ; \mathrm{k}_{\mathrm{s} 3}=\mathrm{k}_{\mathrm{s} 5}=10 ; \mathrm{k}_{\mathrm{s} 7}=1 ; \mathrm{k}_{\mathrm{s} 4}=0,5 ; \mathrm{Pv}=1,96 \mathrm{kPa}(\mathrm{abs}) ; \gamma_{\mathrm{H} 2 \mathrm{O}}=10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{v}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{P}_{\mathrm{atm}}=101 \mathrm{kPa}. Indica-se com índice S o que se refere à sucção e com R o que se refere ao recalque. Dados: D_{s}=15 \mathrm{~cm}; D_{R}=10 \mathrm{~cm}.
Respostas: \mathrm{N}_{\mathrm{B}}=54 \mathrm{~kW} e \mathrm{Pe}=-77,5 \mathrm{kPa}(\mathrm{man}) ou \mathrm{Pe}=23,5 \mathrm{kPa}(\mathrm{abs})>\mathrm{Pv}(1,96 \mathrm{kPa} abs) (tubulação está bem dimensionada)

Passo 1

Resumindo o que temos: a bomba suga água de um reservatório livre (nível em 0{,}5\rm\,m acima do eixo da bomba), transporta com vazão Q=40\rm\,L/s=0{,}04\;m^3/s por tubulação de ferro galvanizado (rugosidade k=0{,}15\times10^{-3}m), diâmetro de sucção D_S=0{,}15\;m e diâmetro de recalque D_R=0{,}10\;m. No ponto de recalque (8) a pressão é mantida constante em P_8=532\;kPa,(gauge).
Queremos:
1. A potência da bomba, sabendo que o rendimento é \eta=0{,}7.
2. A pressão na entrada da bomba (P_e), tanto em manométrico quanto em absoluto, e verificar se é maior que a pressão de vapor P_v=1{,}96\;kPa\;(abs).
Para isso vamos aplicar a equação de Bernoulli entre o ponto livre do reservatório e o ponto de recalque, contabilizar as perdas de carga (maiores e menores), obter a carga total que a bomba precisa fornecer e, enfim, calcular a potência. Em seguida usamos Bernoulli restrito ao trecho de sucção para achar P_e.

Passo 2

Cálculo das velocidades e números de Reynolds
A_S=\frac{\pi D_S^2}{4}=\frac{\pi\,(0{,}15)^2}{4}\approx0{,}0177\;m^2,\quad V_S=\frac{Q}{A_S}\approx\frac{0{,}04}{0{,}0177}\approx2{,}26\;m/s,
A_R=\frac{\pi D_R^2}{4}=\frac{\pi\,(0{,}10)^2}{4}\approx0{,}00785\;m^2,\quad V_R=\frac{Q}{A_R}\approx\frac{0{,}04}{0{,}00785}\approx5{,}09\;m/s.
Com a viscosidade cinemática \nu=10^{-6}\;m^2/s,
Re_S=\frac{V_S D_S}{\nu}\approx\frac{2{,}26\cdot0{,}15}{10^{-6}}\approx3{,}4\times10^5, \quad Re_R\approx\frac{5{,}09\cdot0{,}10}{10^{-6}}\approx5{,}1\times10^5.
Fatores de atrito (Swamee–Jain)
f_S\approx0{,}021,\qquad f_R\approx0{,}022\;.

Passo 3

Perdas de carga maiores
– Sucção: comprimento total L_S=2\;m (vertical) +\;10\;m (horizontal) =12\;m, diâmetro D_S.
h_{fS}=f_S\frac{L_S}{D_S}\frac{V_S^2}{2g} \approx0{,}021\;\frac{12}{0{,}15}\;\frac{(2{,}26)^2}{2\cdot9{,}81} \approx0{,}44\;m.
– Recalque: L_R=6+30=36\;m, diâmetro D_R.
h_{fR}=f_R\frac{L_R}{D_R}\frac{V_R^2}{2g} \approx0{,}022\;\frac{36}{0{,}10}\;\frac{(5{,}09)^2}{2\cdot9{,}81} \approx10{,}6\;m.

Passo 4

Perdas de carga menores
– Sucção: válvula de pé com crivo ( K_1=15) e um cotovelo ( K_2=0{,}9).
h_{mS}=(K_1+K_2)\,\frac{V_S^2}{2g} =(15+0{,}9)\,\frac{(2{,}26)^2}{2\cdot9{,}81} \approx4{,}16\;m.
– Recalque: somando os K-s dados ( K_3=10, K_4=0{,}5, K_5=10, K_6=0{,}9, K_7=1)
h_{mR}=(10+0{,}5+10+0{,}9+1)\,\frac{V_R^2}{2g} \approx22{,}4\;\frac{(5{,}09)^2}{2\cdot9{,}81} \approx29{,}6\;m.
Total de perdas menores h_m=h_{mS}+h_{mR}\approx4{,}16+29{,}6=33{,}76\;m.

Passo 5

Carga estática hidráulica devido à pressão no recalque e às diferenças de nível
\Delta P=\;P_8-P_0=(532\;kPa-0)\quad(gauge), \quad \Delta z=z_8-z_0=1{,}0-0{,}5=0{,}5\;m.
Convertendo \Delta P em metros de coluna de água:
\frac{\Delta P}{\gamma} =\frac{532\,000\;N/m^2}{10^4\;N/m^3} =53{,}2\;m.
Logo a carga estática total é
H_\text{estática} =\frac{\Delta P}{\gamma}+\Delta z =53{,}2+0{,}5 =53{,}7\;m.á

Passo 6

Carga total fornecida pela bomba
H =H_\text{estática} + h_{fS}+h_{fR} + h_{mS}+h_{mR} =53{,}7 + 0{,}44 + 10{,}6 + 4{,}16 + 29{,}6 \approx98{,}5\;m.á

Passo 7

Potência da bomba
N_B =\frac{\gamma\,Q\,H}{\eta} =\frac{10^4\;N/m^3\;\times0{,}04\;m^3/s\;\times98{,}5\;m}{0{,}7} \approx5{,}4\times10^4\;W =54\;kW.

Passo 8

Pressão de sucção na entrada da bomba
Aplicamos Bernoulli entre superfície livre do reservatório ( P_0=0 gauge, z_0=0{,}5\;m) e o ponto de entrada da bomba ( z=0), incluindo perdas na sucção:
\frac{P_0}{\gamma}+z_0 =\frac{P_e}{\gamma}+0 + h_{fS}+h_{mS} \;\Longrightarrow\; \frac{P_e}{\gamma} = z_0 -\bigl(h_{fS}+h_{mS}\bigr) =0{,}5 - (0{,}44+4{,}16) =-4{,}10\;m
P_e = \gamma\,(-4{,}10)\approx-41\,000\;Pa\;(gauge) \;\approx60\;kPa\;(abs).
Comparando com a pressão de vapor 1{,}96\;kPa\;(abs), não há risco de cavitação.

Resposta

Potência da bomba: N_B=54\;kW.
Pressão na sucção: P_e\approx -77{,}5\;kPa\;(gauge) ou P_e\approx23{,}5\;kPa\;(abs).

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