Está sendo realizado um estudo para estimar a altura média das pessoas em seu país. Para isso, foi aplicada uma pesquisa telefônica aleatória com 500 pessoas, obtendo-se uma média de
. Com base em pesquisas anteriores que indicam que o desvio-padrão da altura das pessoas é de
, determine:
Um intervalo de confiança para a média real da altura das pessoas, com níveis de confiança de
e
.
Um intervalo de confiança para a média real da altura das pessoas, com níveis de confiança de
Passo 1
O enunciado pede que seja determinado um intervalo de confiança para a média real da altura das pessoas, para três níveis de confiança:
,
e
.
Dados fornecidos:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão populacional conhecido:
.
O que precisa ser calculado:
- Os intervalos de confiança para a média verdadeira
com níveis de confiança , e .
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática):
- Quando o desvio-padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média é construído com a distribuição normal padrão (z), mesmo que usemos a média amostral. A fórmula geral é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área central é o nível de confiança; por exemplo, para de confiança temos e usamos ; -
é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro-padrão da média (mostra quanto, em média, a média amostral varia em torno da verdadeira média). - O significado prático: um intervalo de confiança de
significa que, repetindo o processo amostral muitas vezes, aproximadamente dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira média .
Passo 3
Cálculo do erro-padrão
(explicando cada passo):
- Primeiro calcular
:
- Agora o erro-padrão:
Esse valor nos diz que a média amostral costuma variar cerca de
em torno da média verdadeira.
Passo 4
Escolha dos valores críticos
para cada nível de confiança:
- Para
de confiança: , então . - Para
de confiança: , então . - Para
de confiança: , então .
Observação rápida: esses valores vêm da tabela da normal padrão (ou da função inversa da normal). Eles representam quantos desvios-padrão a margem deve cobrir para alcançar a confiança desejada.
Passo 5
Cálculo do intervalo de confiança para
:
- Margem de erro:
- Intervalo:
ou seja
Explanação: com
de confiança, a média populacional está entre aproximadamente
e
.
Passo 6
Cálculo do intervalo de confiança para
:
- Margem de erro:
- Intervalo:
ou seja
Comentário: intervalo mais estreito que o de
, pois aceitamos menor confiança.
Passo 7
Cálculo do intervalo de confiança para
:
- Margem de erro:
- Intervalo:
ou seja
Comentário: conforme a confiança diminui, o intervalo fica ainda mais estreito.
Passo 8
Observações finais e conselho para a prova (didático e prático):
- Procedimento padrão quando
é conhecido: usar a fórmula com . Se fosse desconhecido e pequeno, usar-se-ia de Student. - Ao apresentar os intervalos na prova, é suficiente escrever os limites com duas casas decimais (ou com precisão compatível com os dados). Já demonstrou o raciocínio: cálculo do erro-padrão, escolha do
e montagem do intervalo. - Força aí! Esses cálculos são mecânicos: memorizando a fórmula e os
mais comuns ( para , para ) você resolve rápido na prova.