Está sendo realizado um estudo para estimar a altura média das pessoas em seu país. Para isso, foi aplicada uma pesquisa telefônica aleatória com 500 pessoas, obtendo-se uma média de 159 \mathbf{~ c m}. Com base em pesquisas anteriores que indicam que o desvio-padrão da altura das pessoas é de \mathbf{6 ~ c m}, determine:
Um intervalo de confiança para a média real da altura das pessoas, com níveis de confiança de 95 \%, 90 \% e 85 \%.

Passo 1

O enunciado pede que seja determinado um intervalo de confiança para a média real da altura das pessoas, para três níveis de confiança: 95\%, 90\% e 85\%.
Dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra: n=500.
  • Média amostral: \bar{x}=159\\ \text{cm}.
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=6\\ \text{cm}.
O que precisa ser calculado:
  • Os intervalos de confiança para a média verdadeira \mu com níveis de confiança 95\%, 90\% e 85\%.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática):
  • Quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média é construído com a distribuição normal padrão (z), mesmo que usemos a média amostral. A fórmula geral é
\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui 159\\ \text{cm});
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área central é o nível de confiança; por exemplo, para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e usamos z_{0,975};
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui 6\\ \text{cm});
  • n é o tamanho da amostra (aqui 500);
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro-padrão da média (mostra quanto, em média, a média amostral varia em torno da verdadeira média).
  • O significado prático: um intervalo de confiança de 95\% significa que, repetindo o processo amostral muitas vezes, aproximadamente 95\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira média \mu.

Passo 3

Cálculo do erro-padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} (explicando cada passo):
  • Primeiro calcular \sqrt{n}:
\sqrt{500}=\sqrt{100\cdot5}=10\sqrt{5}\approx10\cdot2,236067977=\;22,36067977.
  • Agora o erro-padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{6}{\sqrt{500}}=\frac{6}{22,36067977\ldots}\approx0,268328157\\ \text{cm}.
Esse valor nos diz que a média amostral costuma variar cerca de 0,2683\\ \text{cm} em torno da média verdadeira.

Passo 4

Escolha dos valores críticos z_{1-\alpha/2} para cada nível de confiança:
  • Para 95\% de confiança: 1-\alpha/2=0,975, então z_{0,975}\approx1,96.
  • Para 90\% de confiança: 1-\alpha/2=0,95, então z_{0,95}\approx1,645.
  • Para 85\% de confiança: 1-\alpha/2=0,925, então z_{0,925}\approx1,4395.
Observação rápida: esses valores vêm da tabela da normal padrão (ou da função inversa da normal). Eles representam quantos desvios-padrão a margem deve cobrir para alcançar a confiança desejada.

Passo 5

Cálculo do intervalo de confiança para 95\%:
  • Margem de erro:
E_{95}=z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\cdot0,268328157\approx0,525923188\\ \text{cm}.
  • Intervalo:
\bar{x}\pm E_{95}=159\pm0,525923188,
ou seja
\text{IC }95\%=(159-0,525923188,\;159+0,525923188)\approx(158,47\\ \text{cm},\;159,53\\ \text{cm}).
Explanação: com 95\% de confiança, a média populacional está entre aproximadamente 158,47\\ \text{cm} e 159,53\\ \text{cm}.

Passo 6

Cálculo do intervalo de confiança para 90\%:
  • Margem de erro:
E_{90}=z_{0,95}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,645\cdot0,268328157\approx0,441398770\\ \text{cm}.
  • Intervalo:
\bar{x}\pm E_{90}=159\pm0,441398770,
ou seja
\text{IC }90\%=(159-0,441398770,\;159+0,441398770)\approx(158,56\\ \text{cm},\;159,44\\ \text{cm}).
Comentário: intervalo mais estreito que o de 95\%, pois aceitamos menor confiança.

Passo 7

Cálculo do intervalo de confiança para 85\%:
  • Margem de erro:
E_{85}=z_{0,925}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,4395\cdot0,268328157\approx0,386251831\\ \text{cm}.
  • Intervalo:
\bar{x}\pm E_{85}=159\pm0,386251831,
ou seja
\text{IC }85\%=(159-0,386251831,\;159+0,386251831)\approx(158,61\\ \text{cm},\;159,39\\ \text{cm}).
Comentário: conforme a confiança diminui, o intervalo fica ainda mais estreito.

Passo 8

Observações finais e conselho para a prova (didático e prático):
  • Procedimento padrão quando \sigma é conhecido: usar a fórmula com z. Se \sigma fosse desconhecido e n pequeno, usar-se-ia t de Student.
  • Ao apresentar os intervalos na prova, é suficiente escrever os limites com duas casas decimais (ou com precisão compatível com os dados). Já demonstrou o raciocínio: cálculo do erro-padrão, escolha do z e montagem do intervalo.
  • Força aí! Esses cálculos são mecânicos: memorizando a fórmula e os z mais comuns ( 1,96 para 95\%, 1,645 para 90\%) você resolve rápido na prova.

Resposta

\text{IC }95\% = (158,47\\ \text{cm},\;159,53\\ \text{cm})
\text{IC }90\% = (158,56\\ \text{cm},\;159,44\\ \text{cm})
\text{IC }85\% = (158,61\\ \text{cm},\;159,39\\ \text{cm})

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