Sendo X \sim U[0,4], determine:
Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{(2+x)}{4}, & -2 \leq x<0, \\\ \frac{(2-x)}{4}, & 0 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas distintas:
  1. Para a variável aleatória X\) com distribuição uniforme em \([0,4]\) (isto é, \(X\sim U[0,4]\)), calcular a média \(E(X)\) e a variância \(\operatorname{Var}(X)\) usando a f.d.p. da variável. As informações relevantes: a f.d.p. da uniforme em \([0,4]\) é igual a \(\frac{1}{4}\) para \(0\le x\le 4\) e zero fora desse intervalo. 2) Verificar se a função \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2+x}{4}, & -2\le x<0,\\[6pt] \displaystyle \frac{2-x}{4}, & 0\le x\le 2, \end{cases}
(assumida nula fora de ([-2,2]]) é uma função densidade de probabilidade; ou seja, checar se é não-negativa e se integra 1 no eixo real.]

Passo 2

Lembrando a definição prática: a esperança de uma variável contínua com f.d.p. f_X(x) é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
Para X\sim U[0,4] a f.d.p. é f_X(x)=\frac{1}{4} em [0,4] e zero fora. Portanto só precisamos integrar de 0 a 4:
E(X)=\int_{0}^{4} x\cdot\frac{1}{4}\,dx.
Explico cada passo da integral: podemos passar a constante \frac{1}{4} para fora da integral e usar a primitiva de x, que é \frac{x^2}{2}. Assim,
E(X)=\frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{4^2}{2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{16}{2} = \frac{1}{4}\cdot 8 =2.

Passo 3

Para a variância usamos a fórmula
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2.
Primeiro calculamos E(X^2) pela integral
E(X^2)=\int_{0}^{4} x^2\cdot\frac{1}{4}\,dx =\frac{1}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} =\frac{1}{4}\cdot\frac{4^3}{3} =\frac{1}{4}\cdot\frac{64}{3} =\frac{16}{3}.
Agora substituímos na fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=\frac{16}{3}-\bigl(2\bigr)^2 =\frac{16}{3}-4 =\frac{16-12}{3} =\frac{4}{3}.
Observação prática (útil na prova): para U[a,b] há a fórmula direta \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}. Aplicando aqui (b-a)^2/12=(4-0)^2/12=16/12=4/3, que bate com o cálculo anterior.

Passo 4

Agora verificamos se a função f(x) dada é uma f.d.p. Critérios a checar:
  1. Não-negatividade: f(x)\ge 0 para todo x.
  2. Integral total igual a 1: \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
Começando pela não-negatividade: para -2\le x<0 temos f(x)=\dfrac{2+x}{4}. O mínimo desse trecho ocorre em x=-2, onde 2+(-2)=0, logo f(-2)=0; em x\to 0^{-} temos f\to \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Assim neste trecho f(x) varia de 0 a \tfrac{1}{2}, sempre não-negativa. Para 0\le x\le 2 temos f(x)=\dfrac{2-x}{4}, que vai de \tfrac{1}{2} (em x=0) até 0 (em x=2), também não-negativa. Fora de [-2,2] a função é zero por hipótese. Portanto a condição de não-negatividade está satisfeita.

Passo 5

Agora verificamos a integral total:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}\frac{2+x}{4}\,dx+\int_{0}^{2}\frac{2-x}{4}\,dx.
Calculamos cada integral separadamente. Para a primeira:
\int_{-2}^{0}\frac{2+x}{4}\,dx=\frac{1}{4}\left[\;2x+\frac{x^2}{2}\;\right]_{-2}^{0}.
Avaliação: em x=0 a expressão 2x+\frac{x^2}{2} vale 0; em x=-2 vale 2(-2)+\frac{(-2)^2}{2}=-4+2=-2. Portanto a diferença é 0-(-2)=2, e multiplicando por \frac{1}{4} obtemos \tfrac{1}{2}.
Para a segunda integral:
\int_{0}^{2}\frac{2-x}{4}\,dx=\frac{1}{4}\left[\;2x-\frac{x^2}{2}\;\right]_{0}^{2}.
Avaliação: em x=2 4-2=2, em x=0 0. Diferença 2, multiplicando por \frac{1}{4} dá novamente \tfrac{1}{2}.
Somando as duas partes obtemos \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. Logo a integral total é 1.

Passo 6

Conclusão: a função é não-negativa e integra 1; portanto é de fato uma função densidade de probabilidade.

Resposta

E(X)= 2, \operatorname{Var}(X)=\tfrac{4}{3}
Sim.

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