Sendo
, determine:
Em cada um dos itens, calcular a média
e a variância
, usando a f.d.p da variável aleatória. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
Em cada um dos itens, calcular a média
Passo 1
O enunciado dá duas tarefas distintas:
- Para a variável aleatória
(assumida nula fora de ([-2,2]]) é uma função densidade de probabilidade; ou seja, checar se é não-negativa e se integra 1 no eixo real.]
Passo 2
Lembrando a definição prática: a esperança de uma variável contínua com f.d.p.
é
Para
a f.d.p. é
em
e zero fora. Portanto só precisamos integrar de
a
:
Explico cada passo da integral: podemos passar a constante
para fora da integral e usar a primitiva de
, que é
. Assim,
Passo 3
Para a variância usamos a fórmula
Primeiro calculamos
pela integral
Agora substituímos na fórmula da variância:
Observação prática (útil na prova): para
há a fórmula direta
. Aplicando aqui
, que bate com o cálculo anterior.
Passo 4
Agora verificamos se a função
dada é uma f.d.p. Critérios a checar:
- Não-negatividade:
para todo . - Integral total igual a 1:
.
Começando pela não-negatividade: para
temos
. O mínimo desse trecho ocorre em
, onde
, logo
; em
temos
. Assim neste trecho
varia de
a
, sempre não-negativa. Para
temos
, que vai de
(em
) até
(em
), também não-negativa. Fora de
a função é zero por hipótese. Portanto a condição de não-negatividade está satisfeita.
Passo 5
Agora verificamos a integral total:
Calculamos cada integral separadamente. Para a primeira:
Avaliação: em
a expressão
vale
; em
vale
. Portanto a diferença é
, e multiplicando por
obtemos
.
Para a segunda integral:
Avaliação: em
dá
, em
dá
. Diferença
, multiplicando por
dá novamente
.
Somando as duas partes obtemos
. Logo a integral total é 1.
Passo 6
Conclusão: a função é não-negativa e integra 1; portanto é de fato uma função densidade de probabilidade.
Resposta
E(X)=
,
Sim.
Sim.