Sendo X \sim U[0,4], determine:
Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=3 x, se 0 \leqslant x \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e pede duas coisas:
  • Dado: \;X\sim U[0,4] (ou seja, X é uniforme no intervalo [0,4]).
  • Pedido 1: Calcular a média \;E(X)\; usando a f.d.p. e calcular a variância \;\operatorname{Var}(X)\; usando a f.d.p.
  • Pedido 2: Verificar se a função f(x)=3x,\quad\text{se }0\le x\le1(e f(x)=0 fora desse intervalo) é uma função densidade de probabilidade.
Todos os dados relevantes foram listados acima. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é f.d.p., expectativa e variância — com calma e passo a passo.
  • Definição de f.d.p.: uma função f(x) é densidade de probabilidade se (i) f(x)\ge0 para todo x e (ii) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
  • Para uma variável contínua com f.d.p. f(x), a média (esperança) é dada por
    E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
    Aqui, x é a variável de integração e f(x) é a densidade.
  • A variância é a medida de dispersão em torno da média. Uma forma prática de calcular é
    \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2,
    onde
    E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx.
    (Isso vem direto da definição \operatorname{Var}(X)=E\bigl[(X-E(X))^2\bigr] e expandindo.)
Agora vamos aplicar essas fórmulas ao caso concreto X\sim U[0,4]. Para X uniforme em [a,b], a f.d.p. é constante no intervalo e zero fora. Aqui a=0 e b=4, então a f.d.p. é
f_X(x)=\frac{1}{4}\quad\text{se }0\le x\le4,
porque precisamos que \int_0^4 f_X(x)\,dx=1, logo f_X(x)\cdot 4 = 1\Rightarrow f_X(x)=1/4.

Passo 3

Calcular E(X) usando a f.d.p.:
Usamos a fórmula
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx.
Como f_X(x)=\tfrac{1}{4} apenas em [0,4] e zero fora, o integral reduz a
E(X)=\int_{0}^{4} x\cdot\frac{1}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{4} x\,dx.
Agora calcule o integral simples:
\int_{0}^{4} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \frac{4^2}{2}-0 = \frac{16}{2}=8.
Portanto
E(X)=\frac{1}{4}\cdot 8 = 2.
Interpretação rápida: a média do uniforme é o ponto médio do intervalo [0,4], que é 2, e o cálculo por integral confirma isso.

Passo 4

Calcular E(X^2) e então \operatorname{Var}(X).
Primeiro
E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x)\,dx = \int_{0}^{4} x^2\cdot\frac{1}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{4} x^2\,dx.
Calcule o integral:
\int_{0}^{4} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3}-0 = \frac{64}{3}.
Logo
E(X^2)=\frac{1}{4}\cdot\frac{64}{3} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}.
Agora use a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 = \frac{16}{3} - (2)^2 = \frac{16}{3}-4.
Coloque no mesmo denominador:
\frac{16}{3}-4 = \frac{16}{3}-\frac{12}{3} = \frac{4}{3}.
Portanto \operatorname{Var}(X)=\tfrac{4}{3}.
Comentário pedagógico rápido: para o uniforme [a,b] existe uma fórmula conhecida \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}. Aqui (b-a)=4, então \dfrac{4^2}{12}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}, mesma resposta — é só um atalho, mas fizemos pelo integral conforme pedido.

Passo 5

Verificar se f(x)=3x em [0,1] (e zero fora) é f.d.p.
Temos duas condições:
  1. Não negatividade: para 0\le x\le1 tem-se 3x\ge0. Então a condição f(x)\ge0 está satisfeita.
  2. Integral total igual a 1:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} 3x\,dx = 3\int_{0}^{1} x\,dx = 3\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Como \dfrac{3}{2}\neq 1, a integral total não é 1. Portanto f(x)=3x não é uma densidade de probabilidade (falta normalizar).
Se quisermos, podemos dizer qual fator tornaria essa função uma densidade: dividir por \tfrac{3}{2} (ou multiplicar por \tfrac{2}{3}). Assim a versão normalizada seria f_{\text{norm}}(x)=2x para 0\le x\le1, porque
\int_{0}^{1} 2x\,dx = 2\cdot\frac{1}{2}=1.
Mas a função dada 3x não é pdf.

Resposta

E(X)=2
\operatorname{Var}(X)=\tfrac{4}{3}
f(x)=3x em [0,1] não é densidade de probabilidade, pois \displaystyle\int_{0}^{1}3x\,dx=\tfrac{3}{2}\neq1.

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