Sendo
, determine:
Em cada um dos itens, calcular a média
e a variância
, usando a f.d.p da variável aleatória. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
, se
.
Em cada um dos itens, calcular a média
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e pede duas coisas:
- Dado:
(ou seja, é uniforme no intervalo ). - Pedido 1: Calcular a média
usando a f.d.p. e calcular a variância usando a f.d.p. - Pedido 2: Verificar se a função
(e fora desse intervalo) é uma função densidade de probabilidade.
Todos os dados relevantes foram listados acima. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é f.d.p., expectativa e variância — com calma e passo a passo.
-
Definição de f.d.p.: uma função
é densidade de probabilidade se (i) para todo e (ii) . -
Para uma variável contínua com f.d.p.
, a média (esperança) é dada por Aqui,é a variável de integração e é a densidade. -
A variância é a medida de dispersão em torno da média. Uma forma prática de calcular éonde(Isso vem direto da definição
e expandindo.)
Agora vamos aplicar essas fórmulas ao caso concreto
. Para
uniforme em
, a f.d.p. é constante no intervalo e zero fora. Aqui
e
, então a f.d.p. é
porque precisamos que
, logo
.
Passo 3
Calcular
usando a f.d.p.:
Usamos a fórmula
Como
apenas em
e zero fora, o integral reduz a
Agora calcule o integral simples:
Portanto
Interpretação rápida: a média do uniforme é o ponto médio do intervalo
, que é
, e o cálculo por integral confirma isso.
Passo 4
Calcular
e então
.
Primeiro
Calcule o integral:
Logo
Agora use a fórmula da variância:
Coloque no mesmo denominador:
Portanto
.
Comentário pedagógico rápido: para o uniforme
existe uma fórmula conhecida
. Aqui
, então
, mesma resposta — é só um atalho, mas fizemos pelo integral conforme pedido.
Passo 5
Verificar se
em
(e zero fora) é f.d.p.
Temos duas condições:
-
Não negatividade: para
tem-se . Então a condição está satisfeita. -
Integral total igual a 1:
Como
, a integral total não é
. Portanto
não é uma densidade de probabilidade (falta normalizar).
Se quisermos, podemos dizer qual fator tornaria essa função uma densidade: dividir por
(ou multiplicar por
). Assim a versão normalizada seria
para
, porque
Mas a função dada
não é pdf.