Sendo X \sim U[0,4], determine:
Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados) f(x)=\frac{x^{2}}{2}, x \geqslant 0.
Passo 1
O enunciado dá que X\sim U[0,4] (variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0,4]). As perguntas são:
Calcular a média E(X) usando a f.d.p. da variável.
Calcular a variância \operatorname{Var}(X) usando a f.d.p.
Verificar se a função f(x)=\dfrac{x^{2}}{2} para x\ge 0 (e f(x)=0 fora desse intervalo) é uma f.d.p.
Informações relevantes fornecidas:
A f.d.p. de X é a da distribuição uniforme em [0,4].
A função a verificar é f(x)=\dfrac{x^{2}}{2} para x\ge 0 e 0 caso contrário (assuma isso conforme pedido).
Passo 2
Vamos escrever a f.d.p. de X. Para uma uniforme em [a,b] a f.d.p. vale \dfrac{1}{b-a} dentro do intervalo e 0 fora. Aqui a=0 e b=4, logo
f_X(x)=\frac{1}{4},\quad 0\le x\le 4,
e f_X(x)=0 para x\notin[0,4].
Explicação curta: o total da probabilidade no intervalo deve ser 1 e o comprimento do intervalo é 4, então a altura constante tem que ser 1/4.
Passo 3
Fórmula para a média (expectativa) de uma variável contínua: para qualquer f.d.p. f_X,
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
Aqui isso reduz-se ao integral no suporte [0,4] porque f_X(x)=0 fora.