Sendo X \sim U[0,4], determine:
Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=\frac{x^{2}}{2}, x \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado dá que X\sim U[0,4] (variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0,4]). As perguntas são:
  1. Calcular a média E(X) usando a f.d.p. da variável.
  2. Calcular a variância \operatorname{Var}(X) usando a f.d.p.
  3. Verificar se a função f(x)=\dfrac{x^{2}}{2} para x\ge 0 (e f(x)=0 fora desse intervalo) é uma f.d.p.
Informações relevantes fornecidas:
  • A f.d.p. de X é a da distribuição uniforme em [0,4].
  • A função a verificar é f(x)=\dfrac{x^{2}}{2} para x\ge 0 e 0 caso contrário (assuma isso conforme pedido).

Passo 2

Vamos escrever a f.d.p. de X. Para uma uniforme em [a,b] a f.d.p. vale \dfrac{1}{b-a} dentro do intervalo e 0 fora. Aqui a=0 e b=4, logo
f_X(x)=\frac{1}{4},\quad 0\le x\le 4,
e f_X(x)=0 para x\notin[0,4].
Explicação curta: o total da probabilidade no intervalo deve ser 1 e o comprimento do intervalo é 4, então a altura constante tem que ser 1/4.

Passo 3

Fórmula para a média (expectativa) de uma variável contínua: para qualquer f.d.p. f_X,
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
Aqui isso reduz-se ao integral no suporte [0,4] porque f_X(x)=0 fora.

Passo 4

Calculemos E(X) passo a passo:
E(X)=\int_{0}^{4} x\cdot\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{4} x\,dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{4} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-0=\frac{16}{2}=8.
Multiplicando fora,
E(X)=\frac{1}{4}\cdot 8=2.

Passo 5

Fórmula para a variância: por definição
\operatorname{Var}(X)=E\big((X-E(X))^{2}\big)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Usamos essa forma porque calcular E(X^{2}) é direto com integrais e depois subtrair o quadrado da média.

Passo 6

Calculemos E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{0}^{4} x^{2}\cdot\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{4} x^{2}\,dx.
A primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Então
\int_{0}^{4} x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{4}=\frac{4^{3}}{3}-0=\frac{64}{3}.
Multiplicando fora,
E(X^{2})=\frac{1}{4}\cdot\frac{64}{3}=\frac{16}{3}.

Passo 7

Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{16}{3}-2^{2}=\frac{16}{3}-4.
Escrevendo 4=\dfrac{12}{3} temos
\operatorname{Var}(X)=\frac{16-12}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 8

Checagem alternativa (fórmula conhecida): para U[a,b],
\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}.
Substituindo a=0, b=4,
\operatorname{Var}(X)=\frac{4^{2}}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 9

Agora verificamos se f(x)=\dfrac{x^{2}}{2} para x\ge 0 (e zero fora) é uma f.d.p. Lembre-se das duas condições para ser f.d.p.:
  1. f(x)\ge 0 para todo x. (Aqui x^{2}/2\ge 0 ok.)
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.

Passo 10

Calculemos a integral total (usando que a função é zero para x<0):
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{2}\,dx.
Calculamos como uma integral imprópria:
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{2}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\frac{x^{2}}{2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\frac{1}{2}\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{R} =\lim_{R\to\infty}\frac{R^{3}}{6}.
Esse limite diverge para +\infty, ou seja, a integral total não é 1 (é infinita). Portanto a função não satisfaz a condição de normalização.

Passo 11

Conclusão do teste: embora f(x)\ge 0, a integral sobre todo o espaço é infinita, logo f(x)=\dfrac{x^{2}}{2} para x\ge 0 (e zero fora) não é uma f.d.p.

Resposta

E(X)=2
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{4}{3}
f(x)=\dfrac{x^{2}}{2} para x\ge 0 não é f.d.p.

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