Sendo P(x, y)=2 x sin (x^2+y^2)+y e Q(x, y)=2 y sin (x^2+y^2)+x, ambas definidas om R^2
(2 pontos) a) Determine as derivadas parciais Py e Qx .
(2 pontos) b) Conclua que F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j é um campo gradiente.
(5 postos) c) Calcule a integral de linha integralC F(x, y). d r onde C é o arco da espiral polar r=e^theta que vai do ponto A=(1,0) ao ponto B=(e^4 pi, 0).

Passo 1

O enunciado dá o campo vec F(x,y)=P(x,y),vec i+Q(x,y),vec j, onde
P(x,y)=2xsinl(x^2+y^2r)+y, Q(x,y)=2ysinl(x^2+y^2r)+x,
e pede:
a) as derivadas parciais Py e Qx;
b) mostrar que vec F é campo gradiente;
c) calcular integralCvec Fcdot dvec r em Ccolon r=e^theta, de A=(1,0) até B=(e^4pi,0).
Para (b) usamos o critério de igualdade das mistas num domínio simplesmente conexo, e para (c) usaremos que a integral de linha de um gradiente é a diferença do potencial.

Passo 2

Calculamos
Py=partialpartial yl[2xsin(x^2+y^2)+yr] =2xcos(x^2+y^2)cdot2y+1 =4xycos(x^2+y^2)+1

Passo 3

Calculamos
Qx=partialpartial xl[2ysin(x^2+y^2)+xr] =2ycos(x^2+y^2)cdot2x+1 =4xycos(x^2+y^2)+1

Passo 4

Como Py=4xycos(x^2+y^2)+1=Qx em todo R^2, e o domínio é simplesmente conexo, segue que vec F é um campo gradiente.

Passo 5

Para achar o potencial phi(x,y), integramos P em x:
phi(x,y)=integral!P,dx =integrall[2xsin(x^2+y^2)+yr]dx =-cos(x^2+y^2)+xy+h(y)
Diferenciando em y e igualando a Q resulta h'(y)=0, logo podemos tomar
phi(x,y)=-cos(x^2+y^2)+xy

Passo 6

A integral de linha de um gradiente vale phi(B)-phi(A). Em A=(1,0) e B=(e^4pi,0) temos
phi(1,0)=-cos(1^2+0)+1cdot0=-cos(1), phi(e^4pi,0)=-cosl(e^8pir)+e^4picdot0=-cosl(e^8pir)
Portanto
integralCvec Fcdot dvec r =phi(B)-phi(A) =-cosl(e^8pir)-l[-cos(1)r] =cos(1)-cosl(e^8pir)

Resposta

(a) Py=4xycos(x^2+y^2)+1 e Qx=4xycos(x^2+y^2)+1.
(b) Como Py=Qx em R^2, vec F é gradiente.
(c) integralCvec Fcdot dvec r=cos(1)-cosl(e^8pir).

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