Sendo
e
, ambas definidas om
。
(2 pontos) a) Determine as derivadas parciais
e
.
(2 pontos) b) Conclua que
é um campo gradiente.
(5 postos) c) Calcule a integral de linha
. d
onde
é o arco da espiral polar
que vai do ponto
ao ponto
.
(2 pontos) a) Determine as derivadas parciais
(2 pontos) b) Conclua que
(5 postos) c) Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá o campo
, onde
e pede:
a) as derivadas parciais e
;
b) mostrar que é campo gradiente;
c) calcular em
, de
até
.
Para (b) usamos o critério de igualdade das mistas num domínio simplesmente conexo, e para (c) usaremos que a integral de linha de um gradiente é a diferença do potencial.
a) as derivadas parciais
b) mostrar que
c) calcular
Para (b) usamos o critério de igualdade das mistas num domínio simplesmente conexo, e para (c) usaremos que a integral de linha de um gradiente é a diferença do potencial.
Passo 2
Calculamos
Passo 3
Calculamos
Passo 4
Como
em todo
, e o domínio é simplesmente conexo, segue que
é um campo gradiente.
Passo 5
Para achar o potencial
, integramos
em
:
Diferenciando em
e igualando a
resulta
, logo podemos tomar
Passo 6
A integral de linha de um gradiente vale
. Em
e
temos
Portanto
Resposta
(a)
e
.
(b) Como em
,
é gradiente.
(c) .
(b) Como
(c)