Usando desigualdades e o teorema do confronto, mostre que
Passo 1
Estamos querendo provar que
O conteúdo principal é usar desigualdades geométricas para obter
quando
, e então aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Passo 2
Considere a circunferência de raio 1 com centro em
. Seja
e
. Traçando o setor circular
, o triângulo
interno e o triângulo formado pela tangente em
ao raio
, obtém-se as áreas:
Como o triângulo interno é menor que o setor, que por sua vez é menor que o triângulo da tangente, segue
para
.
Passo 3
Dividindo a cadeia
por
e usando
, obtemos
Passo 4
Aplicando o Teorema do Confronto, como
segue
Passo 5
Para verificar o limite bilateral, note que
, logo
de modo que o limite à esquerda também vale 1.