Usando desigualdades e o teorema do confronto, mostre que
lim theta 0 sin thetatheta=1

Passo 1

Estamos querendo provar que
limthetato 0sinthetatheta=1
O conteúdo principal é usar desigualdades geométricas para obter
sintheta<theta<tantheta quando 0<theta<tfracpi2, e então aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Considere a circunferência de raio 1 com centro em O. Seja A=(1,0) e B=(costheta,sintheta). Traçando o setor circular OAB, o triângulo OAB interno e o triângulo formado pela tangente em A ao raio OB, obtém-se as áreas:
área(OAB)=12sintheta, área(setor OAB)=12,theta, área(triângulo tan>=nte)=12tantheta áááâ
Como o triângulo interno é menor que o setor, que por sua vez é menor que o triângulo da tangente, segue
12sintheta<12,theta<12tantheta Longrightarrow sintheta<theta<tantheta
para 0<theta<tfracpi2.

Passo 3

Dividindo a cadeia sintheta<theta<tantheta por theta>0 e usando tantheta=dfracsinthetacostheta, obtemos
sinthetatheta<1 e 1<sinthetatheta,1costheta ;Longrightarrow; costheta<sinthetatheta<1

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto, como
limthetato0costheta=1 e limthetato01=1,
segue
limthetato0sinthetatheta=1

Passo 5

Para verificar o limite bilateral, note que sin(-theta)=-sintheta, logo
sin(-theta)-theta =,-sintheta,-theta =sinthetatheta,
de modo que o limite à esquerda também vale 1.

Resposta

limthetato0sinthetatheta=1

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