Sendo 
  uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati 
 
Passo 1
Beleza, você me passou uma equação diferencial conhecida como Equação de Riccati:
E também me disse que uma solução dessa equação é 
 . Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução para essa equação usando essa informação. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações de Riccati e como usar soluções conhecidas para encontrar novas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Riccati tem a forma geral:
No seu caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Sabendo que 
  é uma solução, vamos usar o método de substituição para encontrar outra solução. A ideia é fazer uma mudança de variável que simplifique a equação.
Vamos supor que a solução geral 
  possa ser escrita como:
Ou seja:
Aqui, 
  é uma nova função que vamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de 
  em relação a 
 :
Passo 5
Substituímos 
  e 
  na equação de Riccati original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro, simplificamos o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando os dois lados:
Passo 6
Agora, vamos cancelar os termos iguais dos dois lados:
Eles aparecem em ambos os lados, então sobra:
Multiplicando ambos os lados por 
  para simplificar:
Portanto:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial simples para 
 :
Integrando ambos os lados em relação a 
 :
Aqui, 
  é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que 
 , substituímos 
  pela expressão encontrada:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a solução geral da equação de Riccati dada a solução particular 
 .
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde 
  é uma constante arbitrária.