Sendo u_{1}=2 \times 10^{-4} x_{1}, u_{2}=3 \times 10^{-4} x_{2}+10^{-4} x_{3} e u_{3}=10^{-4}\left(x_{3}-x_{2}\right), componentes do campo de deslocamento no ponto de coordenadas cartesianas ( x_{1}, x_{2}, x_{3} ), determine a deformação linear na direção \left(\begin{array}{lll}1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3}\end{array}\right) e a deformação angular entre essa direção e a direção \left(\begin{array}{lll}-1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0\end{array}\right). e_{k}=\varepsilon_{i j} N_{i} N_{j} (deformação linear na direção k . N_{i} são as componentes do vetor unitário na direção de d s ) 2 \varepsilon_{j k} N_{1 j} N_{2 k}=\gamma_{12} \quad (Ângulo de distorção entre os segmentos elementares inicialmente ortogonais dispostos nas direções 1 e 2)
Passo 1
O que o exercício pede e o que é fornecido.
Pede-se a deformação linear na direção \displaystyle \mathbf{N}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Pede-se a deformação angular (distorção) entre essa direção e a direção \displaystyle \mathbf{M}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).
São dadas as componentes do deslocamento no ponto de coordenadas cartesianas (x_1,x_2,x_3):u_1 = 2\times10^{-4} x_1,\qquad u_2 = 3\times10^{-4} x_2 + 10^{-4} x_3,\qquad u_3 = 10^{-4}\bigl(x_3 - x_2\bigr).
Observação: todas as quantidades pedidas são escalares (sem unidade) e pequenas — interpretadas em regime de pequenas deformações (radianos para ângulos).
Passo 2
Qual fórmula usar para obter o tensor de deformação linear e por quê; revisão breve e amigável da fórmula.
Em pequena deformação, o tensor de deformação linear (ou tensor de pequenas deformações) é a parte simétrica do gradiente de deslocamento:\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right).
Intuição: \varepsilon_{ii} mede alongamento na direção i (mudança relativa de comprimento), e \varepsilon_{ij} com i\ne j mede meio-shear (metade da variação angular). A fórmula soma derivadas cruzadas e divide por 2 para tomar apenas a parte simétrica (mudanças de forma, não rotações rígidas).
Logo, passo seguinte: calcular todas as derivadas parciais \partial u_i/\partial x_j.
Conclusão: o tensor de deformação é diagonal, com\varepsilon_{ij}=\begin{pmatrix} 2\times10^{-4} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3\times10^{-4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 10^{-4} \end{pmatrix}.]
Passo 5
Calcular a deformação linear na direção \mathbf{N}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) usando e_k=\varepsilon_{ij}N_iN_j e explicar o que isso significa.
Como \varepsilon_{ij} é diagonal, a expressão simplifica parae_k=\varepsilon_{11}N_1^2+\varepsilon_{22}N_2^2+\varepsilon_{33}N_3^2.
Para \mathbf{N} temos N_1^2=N_2^2=N_3^2=\frac{1}{3}. Assime_k=\frac{1}{3}\bigl(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}\bigr).
Substituindo os valores:e_k=\frac{1}{3}\bigl(2\times10^{-4}+3\times10^{-4}+10^{-4}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(6\times10^{-4}\bigr)=2\times10^{-4}.
Interpretação rápida: ao longo da direção \mathbf{N} o alongamento relativo é 2\times10^{-4} (sem unidade), isto é, uma elongação de 0{,}0002 por unidade de comprimento.
Passo 6
Calcular a deformação angular (distorção) entre \mathbf{N} e \mathbf{M}=\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\right) usando \gamma=2\,\varepsilon_{jk}N_j M_k.
A fórmula dada é\gamma = 2\,\varepsilon_{jk}N_j M_k.
Como \varepsilon_{jk} é diagonal, apenas os termos j=k sobrevivem:\gamma = 2\bigl(\varepsilon_{11}N_1M_1+\varepsilon_{22}N_2M_2+\varepsilon_{33}N_3M_3\bigr).
Substituindo nos termos:\gamma = 2\left(\varepsilon_{11}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{6}}\Bigr)+\varepsilon_{22}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{6}}\Bigr)+\varepsilon_{33}\cdot0\right) =\frac{2}{\sqrt{6}}\bigl(\varepsilon_{22}-\varepsilon_{11}\bigr).
Agora substituir \varepsilon_{22}=3\times10^{-4} e \varepsilon_{11}=2\times10^{-4}:\gamma = \frac{2}{\sqrt{6}}\bigl(1\times10^{-4}\bigr) =\frac{2}{\sqrt{6}}\times10^{-4}.
Valor numérico aproximado (para ter ideia):\gamma \approx 8{,}164966\times10^{-5}.
Interpretação: o ângulo entre segmentos inicialmente ortogonais nessas direções muda de forma que a distorção (em radianos, pequeno ângulo) é \approx 8{,}16\times10^{-5}.