Sendo u_{1}=2 \times 10^{-4} x_{1}, u_{2}=3 \times 10^{-4} x_{2}+10^{-4} x_{3} e u_{3}=10^{-4}\left(x_{3}-x_{2}\right), componentes do campo de deslocamento no ponto de coordenadas cartesianas ( x_{1}, x_{2}, x_{3} ), determine a deformação linear na direção \left(\begin{array}{lll}1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3}\end{array}\right) e a deformação angular entre essa direção e a direção \left(\begin{array}{lll}-1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0\end{array}\right).
e_{k}=\varepsilon_{i j} N_{i} N_{j} (deformação linear na direção k . N_{i} são as componentes do vetor unitário na direção de d s )
2 \varepsilon_{j k} N_{1 j} N_{2 k}=\gamma_{12} \quad (Ângulo de distorção entre os segmentos elementares inicialmente ortogonais dispostos nas direções 1 e 2)

Passo 1

O que o exercício pede e o que é fornecido.
  • Pede-se a deformação linear na direção \displaystyle \mathbf{N}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
  • Pede-se a deformação angular (distorção) entre essa direção e a direção \displaystyle \mathbf{M}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).
  • São dadas as componentes do deslocamento no ponto de coordenadas cartesianas (x_1,x_2,x_3): u_1 = 2\times10^{-4} x_1,\qquad u_2 = 3\times10^{-4} x_2 + 10^{-4} x_3,\qquad u_3 = 10^{-4}\bigl(x_3 - x_2\bigr).
  • Fórmulas fornecidas pelo enunciado: e_k = \varepsilon_{ij} N_i N_je \gamma_{12} = 2\,\varepsilon_{jk} N_{1j} N_{2k}.
  • Observação: todas as quantidades pedidas são escalares (sem unidade) e pequenas — interpretadas em regime de pequenas deformações (radianos para ângulos).

Passo 2

Qual fórmula usar para obter o tensor de deformação linear e por quê; revisão breve e amigável da fórmula.
  • Em pequena deformação, o tensor de deformação linear (ou tensor de pequenas deformações) é a parte simétrica do gradiente de deslocamento: \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right).
  • Intuição: \varepsilon_{ii} mede alongamento na direção i (mudança relativa de comprimento), e \varepsilon_{ij} com i\ne j mede meio-shear (metade da variação angular). A fórmula soma derivadas cruzadas e divide por 2 para tomar apenas a parte simétrica (mudanças de forma, não rotações rígidas).
  • Logo, passo seguinte: calcular todas as derivadas parciais \partial u_i/\partial x_j.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u_1,u_2,u_3.
  • Para u_1=2\times10^{-4} x_1: \frac{\partial u_1}{\partial x_1}=2\times10^{-4},\qquad \frac{\partial u_1}{\partial x_2}=0,\qquad \frac{\partial u_1}{\partial x_3}=0.
  • Para u_2=3\times10^{-4} x_2 + 10^{-4} x_3: \frac{\partial u_2}{\partial x_1}=0,\qquad \frac{\partial u_2}{\partial x_2}=3\times10^{-4},\qquad \frac{\partial u_2}{\partial x_3}=10^{-4}.
  • Para u_3=10^{-4}(x_3-x_2): \frac{\partial u_3}{\partial x_1}=0,\qquad \frac{\partial u_3}{\partial x_2}=-10^{-4},\qquad \frac{\partial u_3}{\partial x_3}=10^{-4}.

Passo 4

Montar os componentes do tensor \varepsilon_{ij} usando a definição simétrica e mostrando cada componente.
  • Diagonais (alongamentos): \varepsilon_{11}=\frac{\partial u_1}{\partial x_1}=2\times10^{-4},
\varepsilon_{22}=\frac{\partial u_2}{\partial x_2}=3\times10^{-4},
\varepsilon_{33}=\frac{\partial u_3}{\partial x_3}=10^{-4}.
  • Componentes fora da diagonal (meio-shears), calcular explicitamente: \varepsilon_{12}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\Bigr) =\frac{1}{2}(0+0)=0,
\varepsilon_{13}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\Bigr) =\frac{1}{2}(0+0)=0,
\varepsilon_{23}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(10^{-4}+(-10^{-4})\bigr)=0.
  • Conclusão: o tensor de deformação é diagonal, com \varepsilon_{ij}=\begin{pmatrix} 2\times10^{-4} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3\times10^{-4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 10^{-4} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular a deformação linear na direção \mathbf{N}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) usando e_k=\varepsilon_{ij}N_iN_j e explicar o que isso significa.
  • Como \varepsilon_{ij} é diagonal, a expressão simplifica para e_k=\varepsilon_{11}N_1^2+\varepsilon_{22}N_2^2+\varepsilon_{33}N_3^2.
  • Para \mathbf{N} temos N_1^2=N_2^2=N_3^2=\frac{1}{3}. Assim e_k=\frac{1}{3}\bigl(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}\bigr).
  • Substituindo os valores: e_k=\frac{1}{3}\bigl(2\times10^{-4}+3\times10^{-4}+10^{-4}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(6\times10^{-4}\bigr)=2\times10^{-4}.
  • Interpretação rápida: ao longo da direção \mathbf{N} o alongamento relativo é 2\times10^{-4} (sem unidade), isto é, uma elongação de 0{,}0002 por unidade de comprimento.

Passo 6

Calcular a deformação angular (distorção) entre \mathbf{N} e \mathbf{M}=\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\right) usando \gamma=2\,\varepsilon_{jk}N_j M_k.
  • A fórmula dada é \gamma = 2\,\varepsilon_{jk}N_j M_k.
  • Como \varepsilon_{jk} é diagonal, apenas os termos j=k sobrevivem: \gamma = 2\bigl(\varepsilon_{11}N_1M_1+\varepsilon_{22}N_2M_2+\varepsilon_{33}N_3M_3\bigr).
  • Inserindo componentes: N_1=\frac{1}{\sqrt{3}},\;N_2=\frac{1}{\sqrt{3}},\;N_3=\frac{1}{\sqrt{3}},
M_1=-\frac{1}{\sqrt{2}},\;M_2=\frac{1}{\sqrt{2}},\;M_3=0.
  • Então N_1M_1=-\frac{1}{\sqrt{6}},\qquad N_2M_2=\frac{1}{\sqrt{6}},\qquad N_3M_3=0.
  • Substituindo nos termos: \gamma = 2\left(\varepsilon_{11}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{6}}\Bigr)+\varepsilon_{22}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{6}}\Bigr)+\varepsilon_{33}\cdot0\right) =\frac{2}{\sqrt{6}}\bigl(\varepsilon_{22}-\varepsilon_{11}\bigr).
  • Agora substituir \varepsilon_{22}=3\times10^{-4} e \varepsilon_{11}=2\times10^{-4}: \gamma = \frac{2}{\sqrt{6}}\bigl(1\times10^{-4}\bigr) =\frac{2}{\sqrt{6}}\times10^{-4}.
  • Valor numérico aproximado (para ter ideia): \gamma \approx 8{,}164966\times10^{-5}.
  • Interpretação: o ângulo entre segmentos inicialmente ortogonais nessas direções muda de forma que a distorção (em radianos, pequeno ângulo) é \approx 8{,}16\times10^{-5}.

Resposta

e_k = 2\times10^{-4}
\gamma = \dfrac{2}{\sqrt{6}}\times10^{-4}\approx 8{,}164966\times10^{-5}

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