Sendo X uma variável aleatória com distribuição normal com média 7 e variância 9 , determine, usando a tabela da distribuição normal e o R :
(a) P(X<8), P(X>4.5), P(4 <= X<10).
(b) a, tal que P(X>a)=0.25 ; b, tal que P(X. Que representam a e b ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 7 $ e variância $ \sigma^2 = 9 $ (ou seja, desvio padrão $ \sigma = 3 $). A gente precisa calcular probabilidades específicas usando a tabela da distribuição normal e o software R. Além disso, no item (b), precisamos encontrar certos valores $ a $ e $ b $ que correspondem a probabilidades dadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como padronizar a variável normal e usar a tabela ou funções do R para encontrar as probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ P(X < 8) $. Para isso, a gente vai padronizar a variável $ X $ usando a fórmula:
P(X < 8)
Substituindo os valores:
X
Agora, buscamos na tabela da distribuição normal o valor correspondente a $ Z = 0,333 $.

Passo 3

Consultando a tabela, $ Z = 0,333 $ corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,6304. Então,
Z = 0,333

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X > 4,5) $. Primeiro, padronizamos o valor:
P(X > 4,5)
Buscamos na tabela o valor de $ Z = -0,833 $.

Passo 5

Na tabela, $ Z = -0,833 $ corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,2023. Como queremos $ P(X > 4,5) $, que é $ 1 - P(X < 4,5) $:
Z = -0,833

Passo 6

Para $ P(4 \leq X < 10) $, vamos calcular $ P(X < 10) - P(X < 4) $.
Primeiro, padronizamos 10:
P(4 <= X < 10)
E para 4:
P(X < 10) - P(X < 4)

Passo 7

Consultando a tabela:
P(X < 10) = P(Z < 1) approx 0,8413
P(X < 4) = P(Z < -1) approx 0,1587
Então,
P(4 <= X < 10) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 ou 68,26%

Passo 8

No item (b), precisamos encontrar $ a $ tal que $ P(X > a) = 0,25 $ e $ b $ tal que $ P(X < b) = 0,10 $. Isso envolve encontrar os quantis correspondentes dessas probabilidades.

Passo 9

Para encontrar $ a $, sabemos que $ P(X > a) = 0,25 $ é o mesmo que $ P(X < a) = 0,75 $. Usamos a tabela ou a função do R para encontrar o valor de $ Z $ que corresponde a 0,75.
Na tabela, $ Z $ que corresponde a 0,75 é aproximadamente 0,674.
Agora, despadronizamos para encontrar $ a $:
a

Passo 10

Para encontrar $ b $, temos $ P(X < b) = 0,10 $. Encontramos o $ Z $ que corresponde a 0,10 na tabela, que é aproximadamente -1,282.
Despadronizando:
b

Resposta

(a)
P(X < 8) approx 63,04%, P(X > 4,5) approx 79,77%, P(4 <= X < 10) approx 68,26%
(b)
a approx 9,022 e b approx 3,154
Aqui, $ a $ é o valor tal que há 25% de probabilidade de $ X $ ser maior que ele, e $ b $ é o valor tal que há 10% de probabilidade de $ X $ ser menor que ele.

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