Sendo
uma variável aleatória com distribuição normal com média 7 e variância 9 , determine, usando a tabela da distribuição normal e o
:
(a)
.
(b)
, tal que
, tal que
. Que representam
e
?
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 7 $ e variância $ \sigma^2 = 9 $ (ou seja, desvio padrão $ \sigma = 3 $). A gente precisa calcular probabilidades específicas usando a tabela da distribuição normal e o software R. Além disso, no item (b), precisamos encontrar certos valores $ a $ e $ b $ que correspondem a probabilidades dadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como padronizar a variável normal e usar a tabela ou funções do R para encontrar as probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ P(X < 8) $. Para isso, a gente vai padronizar a variável $ X $ usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora, buscamos na tabela da distribuição normal o valor correspondente a $ Z = 0,333 $.
Passo 3
Consultando a tabela, $ Z = 0,333 $ corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,6304. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X > 4,5) $. Primeiro, padronizamos o valor:
Buscamos na tabela o valor de $ Z = -0,833 $.
Passo 5
Na tabela, $ Z = -0,833 $ corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,2023. Como queremos $ P(X > 4,5) $, que é $ 1 - P(X < 4,5) $:
Passo 6
Para $ P(4 \leq X < 10) $, vamos calcular $ P(X < 10) - P(X < 4) $.
Primeiro, padronizamos 10:
E para 4:
Passo 7
Consultando a tabela:
Então,
Passo 8
No item (b), precisamos encontrar $ a $ tal que $ P(X > a) = 0,25 $ e $ b $ tal que $ P(X < b) = 0,10 $. Isso envolve encontrar os quantis correspondentes dessas probabilidades.
Passo 9
Para encontrar $ a $, sabemos que $ P(X > a) = 0,25 $ é o mesmo que $ P(X < a) = 0,75 $. Usamos a tabela ou a função do R para encontrar o valor de $ Z $ que corresponde a 0,75.
Na tabela, $ Z $ que corresponde a 0,75 é aproximadamente 0,674.
Agora, despadronizamos para encontrar $ a $:
Passo 10
Para encontrar $ b $, temos $ P(X < b) = 0,10 $. Encontramos o $ Z $ que corresponde a 0,10 na tabela, que é aproximadamente -1,282.
Despadronizando:
Resposta
(a)
(b)
Aqui, $ a $ é o valor tal que há 25% de probabilidade de $ X $ ser maior que ele, e $ b $ é o valor tal que há 10% de probabilidade de $ X $ ser menor que ele.