(*) A casca do caracol Limocolaria martensiana pode ser listrada ou lisa. Numa certa população destes caracóis
dos indivíduos têm a casca listrada e
a casca lisa.
(a) Determine a probabilidade da percentagem de caracóis listrados numa amostra aleatória de 10 caracóis desta população ser:
;
;
.
(b) Determine o valor esperado e a variância do número de caracóis com casca lisa numa amostra aleatória de 20 caracóis selecionada desta população.
(a) Determine a probabilidade da percentagem de caracóis listrados numa amostra aleatória de 10 caracóis desta população ser:
(b) Determine o valor esperado e a variância do número de caracóis com casca lisa numa amostra aleatória de 20 caracóis selecionada desta população.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre caracóis da espécie Limocolaria martensiana, que podem ter cascas listradas ou lisas. Na população, 60% dos caracóis têm casca listrada e 40% lisa. Precisamos calcular probabilidades específicas e também o valor esperado e a variância de certos eventos quando pegamos amostras desses caracóis. A matéria envolvida aqui é probabilidade, especialmente distribuição binomial, que é super útil para eventos que têm dois resultados possíveis, como listrado ou liso.
Passo 2
Para a parte (a), queremos saber a probabilidade de, em uma amostra de 10 caracóis, uma certa porcentagem ter casca listrada: 50%, 60% e 70%. Isso significa que queremos saber a chance de exatamente 5, 6 e 7 entre os 10 caracóis serem listrados.
Aqui, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. A fórmula é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso (nesse caso, 60% ou 0,6).
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
- $ n $ é o número total de tentativas (10 caracóis).
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 caracóis serem listrados (50%). Aqui, $ k = 5 $, $ n = 10 $, e $ p = 0,6 $.
Calculando:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 6 caracóis serem listrados (60%). Aqui, $ k = 6 $.
Calculando:
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular a probabilidade de exatamente 7 caracóis serem listrados (70%). Aqui, $ k = 7 $.
Calculando:
Então:
Passo 6
Agora, para a parte (b), precisamos encontrar o valor esperado e a variância do número de caracóis com casca lisa em uma amostra de 20 caracóis.
O valor esperado (ou média) em uma distribuição binomial é dado por:
E a variância é:
Aqui, queremos o número de caracóis lisos, então a probabilidade de sucesso $ p $ é 40% ou 0,4, e $ n = 20 $.
Passo 7
Calculando o valor esperado:
Isso significa que, em média, esperamos ter 8 caracóis com casca lisa em uma amostra de 20.
Passo 8
Calculando a variância:
Isso indica que a variabilidade no número de caracóis lisos na amostra é de 4,8.
Resposta
(a) As probabilidades são aproximadamente:
- 50% listrados: 20,07%
- 60% listrados: 25,23%
- 70% listrados: 21,51%
(b) O valor esperado do número de caracóis com casca lisa numa amostra de 20 é 8 e a variância é 4,8.