(*) A casca do caracol Limocolaria martensiana pode ser listrada ou lisa. Numa certa população destes caracóis 60 % dos indivíduos têm a casca listrada e 40 % a casca lisa.
(a) Determine a probabilidade da percentagem de caracóis listrados numa amostra aleatória de 10 caracóis desta população ser: 50 %; 60 %; 70 %.
(b) Determine o valor esperado e a variância do número de caracóis com casca lisa numa amostra aleatória de 20 caracóis selecionada desta população.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre caracóis da espécie Limocolaria martensiana, que podem ter cascas listradas ou lisas. Na população, 60% dos caracóis têm casca listrada e 40% lisa. Precisamos calcular probabilidades específicas e também o valor esperado e a variância de certos eventos quando pegamos amostras desses caracóis. A matéria envolvida aqui é probabilidade, especialmente distribuição binomial, que é super útil para eventos que têm dois resultados possíveis, como listrado ou liso.

Passo 2

Para a parte (a), queremos saber a probabilidade de, em uma amostra de 10 caracóis, uma certa porcentagem ter casca listrada: 50%, 60% e 70%. Isso significa que queremos saber a chance de exatamente 5, 6 e 7 entre os 10 caracóis serem listrados.
Aqui, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso (nesse caso, 60% ou 0,6).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.
  • $ n $ é o número total de tentativas (10 caracóis).

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 caracóis serem listrados (50%). Aqui, $ k = 5 $, $ n = 10 $, e $ p = 0,6 $.
k = 5
Calculando:
n = 10
p = 0,6
P(X = 5) = binom105 (0.6)^5 (0.4)^5
Então:
binom105 = 252 ou 20,07%

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 6 caracóis serem listrados (60%). Aqui, $ k = 6 $.
k = 6
Calculando:
P(X = 6) = binom106 (0.6)^6 (0.4)^4
binom106 = 210
(0.6)^6 approx 0.04666
Então:
(0.4)^4 approx 0.0256 ou 25,23%

Passo 5

Por último, vamos calcular a probabilidade de exatamente 7 caracóis serem listrados (70%). Aqui, $ k = 7 $.
k = 7
Calculando:
P(X = 7) = binom107 (0.6)^7 (0.4)^3
binom107 = 120
(0.6)^7 approx 0.02799
Então:
(0.4)^3 approx 0.064 ou 21,51%

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar o valor esperado e a variância do número de caracóis com casca lisa em uma amostra de 20 caracóis.
O valor esperado (ou média) em uma distribuição binomial é dado por:
E(X) = n times p
E a variância é:
Var(X) = n times p times (1 - p)
Aqui, queremos o número de caracóis lisos, então a probabilidade de sucesso $ p $ é 40% ou 0,4, e $ n = 20 $.

Passo 7

Calculando o valor esperado:
E(X) = 20 times 0.4 = 8
Isso significa que, em média, esperamos ter 8 caracóis com casca lisa em uma amostra de 20.

Passo 8

Calculando a variância:
Var(X) = 20 times 0.4 times (1 - 0.4) = 20 times 0.4 times 0.6 = 4.8
Isso indica que a variabilidade no número de caracóis lisos na amostra é de 4,8.

Resposta

(a) As probabilidades são aproximadamente:
  • 50% listrados: 20,07%
  • 60% listrados: 25,23%
  • 70% listrados: 21,51%
(b) O valor esperado do número de caracóis com casca lisa numa amostra de 20 é 8 e a variância é 4,8.

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