Sabe-se que uma resistência eléctrica funciona sem avarias durante um intervalo de tempo, cuja duração em horas f(t)= 13 exp (-t / 3) & se t>0 0 & caso contrário á
(a) Identifique a distribuição de T e determine E(T);
(b) Determine a probabilidade de uma resistência funcionar sem avarias entre 3 e 6 horas.
© Indique como determinaria a probabilidade de uma resistência funcionar pelo menos 5 horas.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre o tempo que uma resistência elétrica funciona sem quebrar. A gente vai trabalhar com distribuições de probabilidade contínuas, especificamente a distribuição exponencial. Precisamos identificar qual é a distribuição de $ T $ e calcular sua esperança matemática $ E(T) $, além de calcular algumas probabilidades relacionadas ao funcionamento da resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distribuição da variável $ T $. A função de densidade de probabilidade (pdf) dada é:
T á
Essa forma se assemelha à da distribuição exponencial, que tem a pdf:
f(t) = 13 exp(-t3) & se t > 0 0 & caso contrário
Comparando as duas funções, percebemos que $ \lambda = \frac{1}{3} $. Então, $ T $ segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = \frac{1}{3} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a esperança matemática $ E(T) $ da distribuição exponencial. A fórmula da esperança para a distribuição exponencial é:
E(T)
Substituindo $ \lambda = \frac{1}{3} $:
E(T) = 1lambda
Então, a esperança matemática $ E(T) $ é 3 horas.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a resistência funcionar sem avarias entre 3 e 6 horas, ou seja, $ P(3 < T < 6) $.
A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial é:
P(3 < T < 6)
Então, a probabilidade que queremos é:
F(t) = 1 - e^-lambda t
Simplificando:
P(3 < T < 6) = F(6) - F(3) = (1 - e^-13 times 6) - (1 - e^-13 times 3)
Portanto, a probabilidade de a resistência funcionar entre 3 e 6 horas é aproximadamente 23,26%.

Passo 5

Por fim, vamos determinar a probabilidade de a resistência funcionar pelo menos 5 horas, ou seja, $ P(T \geq 5) $.
Para isso, usamos a função de sobrevivência, que é:
P(T >= 5)
Substituindo $ \lambda = \frac{1}{3} $ e $ t = 5 $:
P(T >= t) = e^-lambda t
Então, a probabilidade de a resistência funcionar pelo menos 5 horas é aproximadamente 18,89%.

Resposta

(a) $ T $ segue uma distribuição exponencial com $ \lambda = \frac{1}{3} $ e $ E(T) = 3 $ horas.
(b) A probabilidade de funcionar entre 3 e 6 horas é aproximadamente 23,26%.
© A probabilidade de funcionar pelo menos 5 horas é aproximadamente 18,89%.

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