Sabe-se que uma resistência eléctrica funciona sem avarias durante um intervalo de tempo, cuja duração em horas
(a) Identifique a distribuição de
e determine
;
(b) Determine a probabilidade de uma resistência funcionar sem avarias entre 3 e 6 horas.
© Indique como determinaria a probabilidade de uma resistência funcionar pelo menos 5 horas.
(b) Determine a probabilidade de uma resistência funcionar sem avarias entre 3 e 6 horas.
© Indique como determinaria a probabilidade de uma resistência funcionar pelo menos 5 horas.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício sobre o tempo que uma resistência elétrica funciona sem quebrar. A gente vai trabalhar com distribuições de probabilidade contínuas, especificamente a distribuição exponencial. Precisamos identificar qual é a distribuição de $ T $ e calcular sua esperança matemática $ E(T) $, além de calcular algumas probabilidades relacionadas ao funcionamento da resistência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a distribuição da variável $ T $. A função de densidade de probabilidade (pdf) dada é:
Essa forma se assemelha à da distribuição exponencial, que tem a pdf:
Comparando as duas funções, percebemos que $ \lambda = \frac{1}{3} $. Então, $ T $ segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = \frac{1}{3} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a esperança matemática $ E(T) $ da distribuição exponencial. A fórmula da esperança para a distribuição exponencial é:
Substituindo $ \lambda = \frac{1}{3} $:
Então, a esperança matemática $ E(T) $ é 3 horas.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a resistência funcionar sem avarias entre 3 e 6 horas, ou seja, $ P(3 < T < 6) $.
A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial é:
Então, a probabilidade que queremos é:
Simplificando:
Portanto, a probabilidade de a resistência funcionar entre 3 e 6 horas é aproximadamente 23,26%.
Passo 5
Por fim, vamos determinar a probabilidade de a resistência funcionar pelo menos 5 horas, ou seja, $ P(T \geq 5) $.
Para isso, usamos a função de sobrevivência, que é:
Substituindo $ \lambda = \frac{1}{3} $ e $ t = 5 $:
Então, a probabilidade de a resistência funcionar pelo menos 5 horas é aproximadamente 18,89%.
Resposta
(a) $ T $ segue uma distribuição exponencial com $ \lambda = \frac{1}{3} $ e $ E(T) = 3 $ horas.
(b) A probabilidade de funcionar entre 3 e 6 horas é aproximadamente 23,26%.
© A probabilidade de funcionar pelo menos 5 horas é aproximadamente 18,89%.