Sendo
\vec{B}=x^{3} \hat{x}+y^{3} \hat{y}+z^{3} \hat{z}
calcule o fluxo total de \vec{B} que sai de uma esfera de raio R com centro na origem.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{B}=x^{3}\,\hat{x}+y^{3}\,\hat{y}+z^{3}\,\hat{z}
e uma esfera de raio R com centro na origem. A pergunta é: calcular o fluxo total de \vec{B} que sai dessa superfície esférica (ou seja, o fluxo através da superfície fechada da esfera, com orientação para fora).
Informações relevantes fornecidas:
  • Campo vetorial \vec{B}(x,y,z) explicitado pelos componentes (x^{3},y^{3},z^{3}).
  • Superfície: esfera de raio R centrada na origem (superfície fechada).
  • Objetivo: fluxo total de \vec{B} saindo da esfera.

Passo 2

Escolha do método: usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Justificativa curta e prática: o problema pede fluxo através de uma superfície fechada e o campo tem componentes simples em termos de x,y,z; o Teorema da Divergência transforma o cálculo de um fluxo de superfície em uma integral tripla do divergente no volume interior, que é muito mais simples aqui (evita parametrizar a superfície). Vou aplicar esse teorema.
Enunciado do Teorema da Divergência:
\iint_{\partial V}\vec{B}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{B})\,dV,
onde V é o volume da esfera e \partial V sua superfície (orientada para fora). Explicando símbolos:
  • \iint_{\partial V}\vec{B}\cdot d\vec{S} é o fluxo total de \vec{B} através da superfície fechada.
  • \nabla\cdot\vec{B} é a divergência de \vec{B}.
  • dV é o elemento de volume.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{B}. Definição e cálculo:
A divergência de um campo vetorial \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) é
\nabla\cdot\vec{B}=\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}.
No nosso caso B_x=x^{3}, B_y=y^{3}, B_z=z^{3}. Então
\frac{\partial B_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}, \qquad \frac{\partial B_y}{\partial y}=3y^{2}, \qquad \frac{\partial B_z}{\partial z}=3z^{2}.
Portanto
\nabla\cdot\vec{B}=3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=3\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}).

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência transformando o fluxo em integral sobre o volume da esfera:
\iint_{\partial V}\vec{B}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}3\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV.
Observação: dentro da esfera, x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} se usarmos coordenadas esféricas. Assim integrando será conveniente passar para coordenadas esféricas.

Passo 5

Relembrando coordenadas esféricas e o elemento de volume:
  • Em coordenadas esféricas usa-se as variáveis (r,\theta,\varphi) com:
    • r = distância à origem (aqui 0\le r\le R),
    • \theta = ângulo polar medido a partir do eixo z ( 0\le\theta\le\pi),
    • \varphi = ângulo azimutal no plano xy ( 0\le\varphi\le2\pi).
  • As relações com x,y,z são x=r\sin\theta\cos\varphi,\quad y=r\sin\theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\theta.
  • O elemento de volume é dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Substituindo x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e dV, a integral do Passo 4 fica
\iiint_{V}3r^{2}\,dV=\iiint_{V}3r^{2}\cdot r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}3\,r^{4}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 6

Separar a integral em parte radial e parte angular (a integral é produto dessas partes porque os limites são independentes):
\int_{0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\cdot\int_{0}^{R}3\,r^{4}\,dr.
Calcular cada uma:
  • Integral em \varphi: \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.
  • Integral em \theta: \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=2.
  • Produto das integrais angulares: 2\pi\times 2=4\pi.

Passo 7

Calcular a integral radial:
\int_{0}^{R}3\,r^{4}\,dr=3\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{R}=3\cdot\frac{R^{5}}{5}=\frac{3R^{5}}{5}.
Multiplicando pelo fator angular 4\pi obtém-se o fluxo total:
\text{Fluxo} = 4\pi\cdot\frac{3R^{5}}{5}=\frac{12\pi R^{5}}{5}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o fluxo é proporcional a R^{5}, o que faz sentido dimensionamente dado que divergência contém r^{2} e o elemento de volume contribui com mais r^{2}, totalizando r^{4} sob integração; integrando até R R^{5}. Tudo consistente.

Resposta

\frac{12\pi R^{5}}{5}

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