Sendo
calcule o fluxo total de
que sai de uma esfera de raio
com centro na origem.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e uma esfera de raio
com centro na origem. A pergunta é: calcular o fluxo total de
que sai dessa superfície esférica (ou seja, o fluxo através da superfície fechada da esfera, com orientação para fora).
Informações relevantes fornecidas:
- Campo vetorial
explicitado pelos componentes . - Superfície: esfera de raio
centrada na origem (superfície fechada). - Objetivo: fluxo total de
saindo da esfera.
Passo 2
Escolha do método: usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Justificativa curta e prática: o problema pede fluxo através de uma superfície fechada e o campo tem componentes simples em termos de
; o Teorema da Divergência transforma o cálculo de um fluxo de superfície em uma integral tripla do divergente no volume interior, que é muito mais simples aqui (evita parametrizar a superfície). Vou aplicar esse teorema.
Enunciado do Teorema da Divergência:
onde
é o volume da esfera e
sua superfície (orientada para fora). Explicando símbolos:
-
é o fluxo total de através da superfície fechada. -
é a divergência de . -
é o elemento de volume.
Passo 3
Calcular a divergência de
. Definição e cálculo:
A divergência de um campo vetorial é
A divergência de um campo vetorial
No nosso caso
,
,
. Então
Portanto
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência transformando o fluxo em integral sobre o volume da esfera:
Observação: dentro da esfera,
se usarmos coordenadas esféricas. Assim integrando será conveniente passar para coordenadas esféricas.
Passo 5
Relembrando coordenadas esféricas e o elemento de volume:
- Em coordenadas esféricas usa-se as variáveis
com: -
= distância à origem (aqui ), -
= ângulo polar medido a partir do eixo ( ), -
= ângulo azimutal no plano ( ).
-
- As relações com
são - O elemento de volume é
Substituindo
e
, a integral do Passo 4 fica
Passo 6
Separar a integral em parte radial e parte angular (a integral é produto dessas partes porque os limites são independentes):
Calcular cada uma:
- Integral em
: - Integral em
: - Produto das integrais angulares:
Passo 7
Calcular a integral radial:
Multiplicando pelo fator angular
obtém-se o fluxo total:
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o fluxo é proporcional a
, o que faz sentido dimensionamente dado que divergência contém
e o elemento de volume contribui com mais
, totalizando
sob integração; integrando até
dá
. Tudo consistente.