4^{\circ} ) Coloque em sistema de plano cartesiano seguintes vetores:
\begin{aligned} \vec{a}= & (4,8 m) \hat{\imath}-(3,2 m) \hat{\jmath} \\\ \vec{b}= & (1,9 m) \hat{\imath}-(2,3 m) \hat{\jmath} \\\ & \vec{c}=(-2,0 m) \hat{\imath} \end{aligned}
Qual é o vetor soma \vec{r} que resultará nesse sistema e o módulo do mesmo, assim como o ângulo de orientação.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores no plano cartesiano e pede: (i) o vetor soma \vec{r} resultante do sistema; (ii) o módulo de \vec{r}; (iii) o ângulo de orientação de \vec{r}. As informações dadas (peguei estes números do enunciado) são:
\vec{a}=(4,8\\ \text{m})\hat{\imath}-(3,2\\ \text{m})\hat{\jmath}, \qquad \vec{b}=(1,9\\ \text{m})\hat{\imath}-(2,3\\ \text{m})\hat{\jmath}, \qquad \vec{c}=(-2,0\\ \text{m})\hat{\imath}.
Observação: as vírgulas nos números indicam casas decimais (formato brasileiro), por isso 4,8 significa quatro vírgula oito metros, etc. As três perguntas são explícitas e serão respondidas em sequência.

Passo 2

Primeiro transforme cada vetor na forma de componentes (x,y) com unidade metro e escreva as componentes explicitamente:
\vec{a}=(4,8,\,-3,2)\\ \text{m}\quad\text{(ou seja }a_x=4,8\\ \text{m},\\ a_y=-3,2\\ \text{m}\text{)},
\vec{b}=(1,9,\,-2,3)\\ \text{m}\quad\text{(ou seja }b_x=1,9\\ \text{m},\\ b_y=-2,3\\ \text{m}\text{)},
\vec{c}=(-2,0,\,0,0)\\ \text{m}\quad\text{(ou seja }c_x=-2,0\\ \text{m},\\ c_y=0,0\\ \text{m}\text{)}.
Explicação curta: cada vetor no plano tem uma componente horizontal x (multiplicando \hat{\imath}) e uma componente vertical y (multiplicando \hat{\jmath}). Aqui escrevemos essas componentes numericamente.

Passo 3

Regra de soma de vetores no plano — aula rápida e prática: para somar vetores basta somar as componentes correspondentes. Se \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y), então
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y).
As variáveis significam: u_x e v_x são as componentes horizontais; u_y e v_y são as componentes verticais. Agora aplicamos isso a \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}:
Some as componentes x:
r_x=a_x+b_x+c_x=4,8+1,9+(-2,0).
Calcule passo a passo:
4,8+1,9=6,7, \qquad 6,7-2,0=4,7.
Portanto r_x=4,7\\ \text{m}.
Some as componentes y:
r_y=a_y+b_y+c_y=(-3,2)+(-2,3)+0,0.
Calcule passo a passo:
-3,2-2,3=-5,5,
portanto r_y=-5,5\\ \text{m}.

Passo 4

Escrevendo o vetor soma na notação vetorial com as bases canônicas:
\vec{r}=r_x\hat{\imath}+r_y\hat{\jmath}=(4,7\\ \text{m})\hat{\imath}+(-5,5\\ \text{m})\hat{\jmath}.
Comentário didático: aqui já temos o vetor resultante em forma operacional, ou seja, sabemos quanto ele “anda” na direção x e na direção y.

Passo 5

Agora vamos calcular o módulo de \vec{r}. Fórmula (aula rápida): o módulo (comprimento) de um vetor \vec{r}=(r_x,r_y) no plano é dado por
\lVert \vec{r}\rVert=\sqrt{r_x^{2}+r_y^{2}}.
Explicando as variáveis: r_x é a componente horizontal e r_y a vertical; elevar ao quadrado remove o sinal e a raiz volta à unidade original. Substituindo nossos valores:
\lVert \vec{r}\rVert=\sqrt{(4,7)^{2}+(-5,5)^{2}}.
Calcule os quadrados passo a passo:
(4,7)^{2}=4,7\times4,7=22,09, \qquad (-5,5)^{2}=5,5\times5,5=30,25.
Some:
22,09+30,25=52,34.
Portanto
\lVert \vec{r}\rVert=\sqrt{52,34}\approx 7,235\\ \text{m}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (comum em provas): \lVert \vec{r}\rVert\approx 7,24\\ \text{m}.

Passo 6

Agora o ângulo de orientação. Definição e fórmula (aula prática): o ângulo \theta medido a partir do eixo +\!x (sentido anti-horário positivo) satisfaz
\tan\theta=\frac{r_y}{r_x}.
Aqui r_x=4,7>0 e r_y=-5,5<0, portanto o vetor está no quarto quadrante (à direita e para baixo). Calcule a tangente:
\frac{r_y}{r_x}=\frac{-5,5}{4,7}\approx -1,1702.
Tomando arco-tangente (explicação): \theta=\arctan\!\left(\dfrac{r_y}{r_x}\right) fornece um ângulo principal; como o valor é negativo e r_x>0, o resultado é um ângulo negativo medido em relação ao eixo +\!x (ou seja, rotação no sentido horário). Calculando aproximadamente:
\theta\approx\arctan(-1,1702)\approx -49,4^\circ.
Interpretações equivalentes úteis na prova:
  • Ângulo como medida negativa (sentido horário): \theta\approx -49,4^\circ.
  • Ângulo entre 0^\circ e 360^\circ (medido anti-horário desde o eixo +\!x): \theta\approx 360^\circ-49,4^\circ=310,6^\circ.

Resposta

\vec{r}=(4,7\\ \text{m})\hat{\imath}+(-5,5\\ \text{m})\hat{\jmath}
\lVert \vec{r}\rVert\approx 7,24\\ \text{m}
\theta\approx -49,4^\circ (ou equivalentemente \theta\approx 310,6^\circ)

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