5^{\circ} ) Coloque em sistema de plano cartesiano seguintes vetores:
\begin{aligned} & \vec{a}=(-3,3 m) \hat{\imath}-(1,4 m) \hat{\jmath} \\\ & \vec{b}=(-1,2 m) \hat{\imath}+(2,0 m) \hat{\jmath} \\\ & \vec{c}=(-0,8 m) \hat{\imath}+(2,0 m) \hat{\jmath} \end{aligned}
Qual é o vetor soma \vec{r} que resultará nesse sistema e o módulo do mesmo, assim como o ângulo de orientação.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores no plano com coordenadas (peguei todos os números do enunciado). Vou escrevê‑los claramente em componentes x e y:
  • \vec{a}=(-3,3\\ \text{m})\,\hat{\imath} - (1,4\\ \text{m})\,\hat{\jmath}.
    Portanto \;a_x = -3,3\\ \text{m},\; a_y = -1,4\\ \text{m}.
  • \vec{b}=(-1,2\\ \text{m})\,\hat{\imath} + (2,0\\ \text{m})\,\hat{\jmath}.
    Portanto \;b_x = -1,2\\ \text{m},\; b_y = 2,0\\ \text{m}.
  • \vec{c}=(-0,8\\ \text{m})\,\hat{\imath} + (2,0\\ \text{m})\,\hat{\jmath}.
    Portanto \;c_x = -0,8\\ \text{m},\; c_y = 2,0\\ \text{m}.
O que o problema pede:
  • Obter o vetor soma \vec{r}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} em forma de componentes (no sistema cartesiano).
  • Calcular o módulo |\vec{r}|.
  • Encontrar o ângulo de orientação de \vec{r} (ângulo medido a partir do eixo +x, no sentido anti‑horário).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
  • Soma de vetores pelo método das componentes: somam‑se as componentes correspondentes em x e em y. Se \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y), então
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y).
Aqui as variáveis: u_x,u_y,v_x,v_y são as projeções dos vetores nos eixos x e y.
  • Módulo (comprimento) de um vetor \vec{r}=(r_x,r_y): regra do teorema de Pitágoras
|\vec{r}|=\sqrt{r_x^{2}+r_y^{2}}.
Aqui r_x e r_y são números (com unidades), então eleva‑se ao quadrado e depois calcula‑se a raiz quadrada.
  • Direção (ângulo) de \vec{r} em relação ao eixo +x: usamos a função arco‑tangente para a referência:
\alpha=\arctan\!\left(\frac{|r_y|}{|r_x|}\right)
onde \alpha é o ângulo de referência (entre 0^\circ e 90^\circ). Depois é preciso ajustar \alpha ao quadrante correto considerando os sinais de r_x e r_y. Regras práticas:
  • se r_x>0 e r_y\ge0 então \theta=\alpha (1.º quadrante);
  • se r_x<0 e r_y\ge0 então \theta=180^\circ-\alpha (2.º quadrante);
  • se r_x<0 e r_y<0 então \theta=180^\circ+\alpha (3.º quadrante);
  • se r_x>0 e r_y<0 então \theta=360^\circ-\alpha (4.º quadrante).
Explicando em miúdos: \arctan(r_y/r_x) dá um ângulo que precisa ser corrigido quando r_x é negativo porque a tangente repete sinais por quadrante.

Passo 3

Calcular as componentes do vetor soma \vec{r}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} somando componente a componente.
Componente x:
r_x = a_x + b_x + c_x = (-3,3) + (-1,2) + (-0,8).
Fazendo as somas:
-3,3 + (-1,2) = -4,5,
-4,5 + (-0,8) = -5,3.
Portanto \;r_x = -5,3\\ \text{m}.
Componente y:
r_y = a_y + b_y + c_y = (-1,4) + (2,0) + (2,0).
Fazendo as somas:
-1,4 + 2,0 = 0,6,
0,6 + 2,0 = 2,6.
Portanto \;r_y = 2,6\\ \text{m}.
Assim:
\vec{r}=(-5,3\\ \text{m})\,\hat{\imath} + (2,6\\ \text{m})\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Calcular o módulo |\vec{r}| aplicando Pitágoras:
|\vec{r}|=\sqrt{r_x^{2}+r_y^{2}}=\sqrt{(-5,3)^{2}+(2,6)^{2}}.
Calculemos os quadrados (mostrando as contas):
(-5,3)^{2}=5,3^{2}=28,09,
(2,6)^{2}=6,76.
Somando:
28,09+6,76=34,85.
Logo
|\vec{r}|=\sqrt{34,85}\approx 5,906\\ \text{m}.
Arredondando com uma casa decimal útil para provas:
|\vec{r}|\approx 5,91\\ \text{m}.

Passo 5

Determinar o ângulo de orientação. Primeiro a razão para a referência:
\frac{|r_y|}{|r_x|}=\frac{2,6}{5,3}\approx 0,4906.
A referência (ângulo agudo) é
\alpha=\arctan\!\left(0,4906\right)\approx 26,1^\circ.
Agora o quadrante: temos r_x=-5,3<0 e r_y=2,6>0. Isso significa que \vec{r} está no 2.º quadrante (à esquerda e acima do eixo x). Pela regra do Passo 2, o ângulo medido a partir do eixo +x no sentido anti‑horário é
\theta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 26,1^\circ = 153,9^\circ.
Portanto o ângulo de orientação é aproximadamente \theta\approx 153,9^\circ.

Passo 6

Resumo final (forma vetorial, módulo e ângulo), lembrando as unidades e interpretação:
  • Vetor soma em componentes: \vec{r}=(-5,3\\ \text{m})\,\hat{\imath} + (2,6\\ \text{m})\,\hat{\jmath}.
  • Módulo: |\vec{r}|\approx 5,91\\ \text{m}.
  • Ângulo de orientação (a partir do eixo +x, sentido anti‑horário): \theta\approx 153,9^\circ.
Força extra: num concurso/prova, sempre verifique sinais das componentes antes de aplicar \arctan — isso evita errar o quadrante. Você mandou bem vindo que buscou a solução; tá ficando mais fácil a cada exercício!

Resposta

\vec{r}=(-5,3\\ \text{m})\,\hat{\imath}+(2,6\\ \text{m})\,\hat{\jmath}
|\vec{r}|\approx 5,91\\ \text{m}
\theta\approx 153,9^\circ

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