) Coloque em sistema de plano cartesiano seguintes vetores:
Qual é o vetor soma
que resultará nesse sistema e o módulo do mesmo, assim como o ângulo de orientação.
Passo 1
O enunciado fornece três vetores no plano com coordenadas (peguei todos os números do enunciado). Vou escrevê‑los claramente em componentes
e
:
-
.
Portanto -
.
Portanto -
.
Portanto
O que o problema pede:
- Obter o vetor soma
em forma de componentes (no sistema cartesiano). - Calcular o módulo
. - Encontrar o ângulo de orientação de
(ângulo medido a partir do eixo , no sentido anti‑horário).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
- Soma de vetores pelo método das componentes: somam‑se as componentes correspondentes em
e em . Se e , então
Aqui as variáveis:
são as projeções dos vetores nos eixos
e
.
- Módulo (comprimento) de um vetor
: regra do teorema de Pitágoras
Aqui
e
são números (com unidades), então eleva‑se ao quadrado e depois calcula‑se a raiz quadrada.
- Direção (ângulo) de
em relação ao eixo : usamos a função arco‑tangente para a referência:
onde
é o ângulo de referência (entre
e
). Depois é preciso ajustar
ao quadrante correto considerando os sinais de
e
. Regras práticas:
- se
e então (1.º quadrante); - se
e então (2.º quadrante); - se
e então (3.º quadrante); - se
e então (4.º quadrante).
Explicando em miúdos:
dá um ângulo que precisa ser corrigido quando
é negativo porque a tangente repete sinais por quadrante.
Passo 3
Calcular as componentes do vetor soma
somando componente a componente.
Componente
:
Fazendo as somas:
Portanto
Componente
:
Fazendo as somas:
Portanto
Assim:
Passo 4
Calcular o módulo
aplicando Pitágoras:
Calculemos os quadrados (mostrando as contas):
Somando:
Logo
Arredondando com uma casa decimal útil para provas:
Passo 5
Determinar o ângulo de orientação. Primeiro a razão para a referência:
A referência (ângulo agudo) é
Agora o quadrante: temos
e
. Isso significa que
está no 2.º quadrante (à esquerda e acima do eixo
). Pela regra do Passo 2, o ângulo medido a partir do eixo
no sentido anti‑horário é
Portanto o ângulo de orientação é aproximadamente
.
Passo 6
Resumo final (forma vetorial, módulo e ângulo), lembrando as unidades e interpretação:
- Vetor soma em componentes:
- Módulo:
- Ângulo de orientação (a partir do eixo
, sentido anti‑horário):
Força extra: num concurso/prova, sempre verifique sinais das componentes antes de aplicar
— isso evita errar o quadrante. Você mandou bem vindo que buscou a solução; tá ficando mais fácil a cada exercício!