Sendo \vec{u}=(1,-1,2), \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(-1,2,3). Calcular um vetor \vec{r}=(x, y, z), tal que \vec{r} \cdot \vec{u}=-7. \vec{r} \cdot \vec{v}=3 e \vec{r} \times \vec{w}=(16,-1,6).

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,-1,2), \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(-1,2,3). Pede um vetor \vec{r}=(x,y,z) tal que as três condições abaixo sejam satisfeitas simultaneamente:
\vec{r}\cdot\vec{u}=-7,
\vec{r}\cdot\vec{v}=3,
\vec{r}\times\vec{w}=(16,-1,6).
Lista das informações relevantes (resumindo):
\vec{u}=(1,-1,2),\quad \vec{v}=(1,2,3),\quad \vec{w}=(-1,2,3),
\vec{r}=(x,y,z),
\vec{r}\cdot\vec{u}=-7,\quad \vec{r}\cdot\vec{v}=3,\quad \vec{r}\times\vec{w}=(16,-1,6).

Passo 2

Primeiro lembrete prático (aula rápida sobre produto escalar): para vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui \vec{r}=(x,y,z). Aplicando a fórmula a \vec{r}\cdot\vec{u} e \vec{r}\cdot\vec{v} obtemos duas equações lineares em x,y,z.
Substituindo \vec{u}=(1,-1,2):
\vec{r}\cdot\vec{u}=x\cdot 1 + y\cdot(-1) + z\cdot 2 = x - y + 2z.
Como isso deve ser -7, temos a equação
\label{eq1} x - y + 2z = -7.
Substituindo \vec{v}=(1,2,3):
\vec{r}\cdot\vec{v}=x\cdot 1 + y\cdot 2 + z\cdot 3 = x + 2y + 3z.
Como isso deve ser 3, temos a equação
\label{eq2} x + 2y + 3z = 3.

Passo 3

Agora uma lembrança sobre produto vetorial (cruz): para \vec{r}=(x,y,z) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) o produto vetorial é
\vec{r}\times\vec{w}=\big(yw_3-zw_2,\; zw_1-xw_3,\; xw_2-yw_1\big).
No nosso caso \vec{w}=(-1,2,3), então substituindo w_1=-1, w_2=2, w_3=3 obtemos
\vec{r}\times\vec{w}=\big(3y-2z,\; -z-3x,\; 2x+y\big).
Como isso deve ser (16,-1,6), igualamos componente a componente e obtemos três equações:
\label{eq3} 3y - 2z = 16,
\label{eq4} - z - 3x = -1,
\label{eq5} 2x + y = 6.
Observação: temos agora cinco equações (\ref{eq1}),(\ref{eq2}),(\ref{eq3}),(\ref{eq4}),(\ref{eq5}) para três incógnitas. Normalmente algumas dessas equações podem ser dependentes entre si (ou redundantes); vamos resolver de modo a encontrar x,y,z compatíveis com todas.

Passo 4

Vamos simplificar as equações obtidas do produto vetorial. Da equação (\ref{eq4}) temos
- z - 3x = -1 \quad\Rightarrow\quad 3x + z = 1.
Da equação (\ref{eq5}) obtemos
2x + y = 6 \quad\Rightarrow\quad y = 6 - 2x.
Substituímos y em (\ref{eq3}):
3(6-2x) - 2z = 16.
Desenvolvendo:
18 - 6x - 2z = 16 \quad\Rightarrow\quad -6x -2z = -2.
Dividindo por -2:
3x + z = 1.
Repare que esta última é exatamente a mesma equação que tiramos de (\ref{eq4}). Ou seja, as três equações do produto vetorial reduzem-se a duas independentes:
y = 6 - 2x,\qquad 3x + z = 1.
Portanto temos duas relações (expressões de y e z em função de x); usaremos essas relações nas equações do produto escalar para determinar x.

Passo 5

Substituímos y e z em função de x na equação (\ref{eq1}) (produto escalar com \vec{u}):
primeiro escrevemos z a partir de 3x+z=1:
z = 1 - 3x.
E já temos y=6-2x. Agora substituímos em (\ref{eq1}):
x - y + 2z = -7
x - (6 - 2x) + 2(1 - 3x) = -7.
Calculando passo a passo:
x - 6 + 2x + 2 - 6x = -7
(x + 2x - 6x) + (-6 + 2) = -7
-3x - 4 = -7.
Isolando x:
-3x = -3 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Passo 6

Com x=1 encontramos y e z pelas relações obtidas:
y = 6 - 2x = 6 - 2\cdot 1 = 4,
z = 1 - 3x = 1 - 3\cdot 1 = -2.
Logo \vec{r}=(1,4,-2).
Vamos verificar rapidamente (sempre bom checar): produto escalar com \vec{u}:
1 - 4 + 2(-2) = 1 - 4 - 4 = -7 \quad\checkmark.
produto escalar com \vec{v}:
1 + 2\cdot 4 + 3(-2) = 1 + 8 - 6 = 3 \quad\checkmark.
produto vetorial \vec{r}\times\vec{w}:
(3\cdot 4 - 2\cdot(-2),\; -(-2) - 3\cdot 1,\; 2\cdot 1 + 4) = (12+4,\; 2-3,\; 2+4) = (16,-1,6)\quad\checkmark.

Resposta

\vec{r}=(1,4,-2)

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