Sendo
e
. Calcular um vetor
, tal que
.
e
.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores
,
e
. Pede um vetor
tal que as três condições abaixo sejam satisfeitas simultaneamente:
Lista das informações relevantes (resumindo):
Passo 2
Primeiro lembrete prático (aula rápida sobre produto escalar): para vetores
e
o produto escalar é
Aqui
. Aplicando a fórmula a
e
obtemos duas equações lineares em
.
Substituindo
:
Como isso deve ser
, temos a equação
Substituindo
:
Como isso deve ser
, temos a equação
Passo 3
Agora uma lembrança sobre produto vetorial (cruz): para
e
o produto vetorial é
No nosso caso
, então substituindo
,
,
obtemos
Como isso deve ser
, igualamos componente a componente e obtemos três equações:
Observação: temos agora cinco equações
para três incógnitas. Normalmente algumas dessas equações podem ser dependentes entre si (ou redundantes); vamos resolver de modo a encontrar
compatíveis com todas.
Passo 4
Vamos simplificar as equações obtidas do produto vetorial. Da equação
temos
Da equação
obtemos
Substituímos
em
:
Desenvolvendo:
Dividindo por
:
Repare que esta última é exatamente a mesma equação que tiramos de
. Ou seja, as três equações do produto vetorial reduzem-se a duas independentes:
Portanto temos duas relações (expressões de
e
em função de
); usaremos essas relações nas equações do produto escalar para determinar
.
Passo 5
Substituímos
e
em função de
na equação
(produto escalar com
):
primeiro escrevemos a partir de
:
primeiro escrevemos
E já temos
. Agora substituímos em
:
Calculando passo a passo:
Isolando
:
Passo 6
Com
encontramos
e
pelas relações obtidas:
Logo
.
Vamos verificar rapidamente (sempre bom checar): produto escalar com
:
produto escalar com
:
produto vetorial
: