Calcular \operatorname{proj}_{u} \vec{v}, onde \vec{u}=(-1,2,1) e \vec{v}=(3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede calcular \operatorname{proj}_{u}\vec{v} com as informações:
\vec{u}=(-1,2,1),\qquad \vec{v}=(3,-1,2).
Portanto a pergunta é: qual é o vetor projeção de \vec{v} sobre \vec{u}?

Passo 2

Vamos recordar a fórmula e o que cada coisa significa (calma, vou explicar passo a passo). A projeção de \vec{v} sobre \vec{u} é o vetor dado por
\operatorname{proj}_{u}\vec{v}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u}.
Aqui:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}. Para vetores em \mathbb{R}^3, se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
O produto escalar mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro (algebricamente é uma soma de produtos de componentes).
  • \vec{u}\cdot\vec{u} é o quadrado da norma de \vec{u}, isto é \|\vec{u}\|^2. É sempre um número positivo (se \vec{u}\neq\vec{0}) e serve para normalizar a projeção.
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{u}\cdot\vec{u}} é um escalar que multiplicado por \vec{u} dá exatamente o vetor componente de \vec{v} na direção de \vec{u}.

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v} componente a componente. Usando \vec{u}=(-1,2,1) e \vec{v}=(3,-1,2):
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-1)\cdot 3 + 2\cdot(-1) + 1\cdot 2.
Agora fazemos as multiplicações e somas:
(-1)\cdot 3 = -3,\qquad 2\cdot(-1)=-2,\qquad 1\cdot 2=2.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -3 + (-2) + 2 = -3.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\vec{u} (o quadrado da norma de \vec{u}):
\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)^2 + 2^2 + 1^2.
Fazendo as potências:
(-1)^2=1,\qquad 2^2=4,\qquad 1^2=1.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{u}=1+4+1=6.

Passo 5

Calcular o escalar que multiplica \vec{u}:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\frac{-3}{6}.
Simplificando a fração:
\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}.
Portanto a projeção será -\dfrac{1}{2}\vec{u}.

Passo 6

Multiplicar o escalar -\dfrac{1}{2} por \vec{u}=(-1,2,1) componente a componente:
-\tfrac{1}{2}\cdot(-1)=\tfrac{1}{2},\qquad -\tfrac{1}{2}\cdot 2 = -1,\qquad -\tfrac{1}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}.
Portanto
\operatorname{proj}_{u}\vec{v}=\Big(\tfrac{1}{2},\,-1,\,-\tfrac{1}{2}\Big).

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{1}{2},-1,-\tfrac{1}{2}\right)

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