Calcular \operatorname{proj}_{u} \vec{v}, onde \vec{u}=(2,-1,1) e \vec{v}=(3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{proj}_{u} \vec{v}. As informações dadas são:
\vec{u}=(2,-1,1),\qquad \vec{v}=(3,-1,2).
Precisamos retornar o vetor projeção de \vec{v} sobre \vec{u}, isto é, o vetor de \vec{u} que representa a “sombra” de \vec{v} na direção de \vec{u}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor \vec{v} sobre \vec{u}. A projeção vetorial é dada por
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u}.
Explicando a fórmula de forma didática:
  • \vec{v}\cdot\vec{u} é o produto escalar (dot product) entre \vec{v} e \vec{u}. É um número que mede quanto \vec{v} está alinhado com \vec{u}.
  • \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2 é o quadrado do comprimento de \vec{u}.
  • O quociente \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}} é um escalar que diz quantas vezes \vec{u} (em magnitude) devemos tomar para obter a projeção; multiplicando por \vec{u} obtemos o vetor na direção de \vec{u}.

Passo 3

Calculemos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{u}. Pelo cálculo componente a componente,
\vec{v}\cdot\vec{u}=3\cdot 2+(-1)\cdot(-1)+2\cdot 1.
Agora calculando:
3\cdot 2=6,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,\qquad 2\cdot 1=2,
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\vec{v}\cdot\vec{u}=6+1+2=9.

Passo 4

Calculemos \vec{u}\cdot\vec{u}, que é o quadrado da norma de \vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u}=2^2+(-1)^2+1^2=4+1+1=6.

Passo 5

Determine o escalar que multiplica \vec{u}:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Multiplicamos esse escalar por \vec{u} componente a componente:
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{3}{2}\,(2,-1,1).
Calculando cada componente:
\frac{3}{2}\cdot 2=3,\qquad \frac{3}{2}\cdot(-1)=-\frac{3}{2},\qquad \frac{3}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}.

Passo 7

(Faço uma checagem rápida para confirmar que a componente ortogonal ficou ortogonal a \vec{u}.) Calcule \vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}:
\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=(3, -1, 2)-\left(3,-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)=(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
Agora o produto escalar com \vec{u}:
(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})\cdot(2,-1,1)=0\cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot(-1)+\tfrac{1}{2}\cdot 1=0,
o que confirma que a diferença é ortogonal a \vec{u}, portanto a projeção está correta.

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\left(3,\,-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{3}{2}\right)

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