Calcular
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações dadas são:
Precisamos retornar o vetor projeção de
sobre
, isto é, o vetor de
que representa a “sombra” de
na direção de
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor
sobre
. A projeção vetorial é dada por
Explicando a fórmula de forma didática:
-
é o produto escalar (dot product) entre e . É um número que mede quanto está alinhado com . -
é o quadrado do comprimento de . - O quociente
é um escalar que diz quantas vezes (em magnitude) devemos tomar para obter a projeção; multiplicando por obtemos o vetor na direção de .
Passo 3
Calculemos o produto escalar
. Pelo cálculo componente a componente,
Agora calculando:
logo
Passo 4
Calculemos
, que é o quadrado da norma de
:
Passo 5
Determine o escalar que multiplica
:
Passo 6
Multiplicamos esse escalar por
componente a componente:
Calculando cada componente:
Passo 7
(Faço uma checagem rápida para confirmar que a componente ortogonal ficou ortogonal a
.) Calcule
:
Agora o produto escalar com
:
o que confirma que a diferença é ortogonal a
, portanto a projeção está correta.