Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{u} \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
Dado \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3), calcular \vec{u}\cdot\vec{w}.

Passo 2

O produto escalar (ou dot product) de dois vetores em \mathbb{R}^3 é definido assim:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
onde a_1,a_2,a_3 são as componentes do vetor \vec{a} e b_1,b_2,b_3 são as componentes do vetor \vec{b}. Esse produto resulta em um número (um escalar). Geometricamente, também vale a fórmula
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores; mas aqui vamos usar a definição por componentes porque é direta e prática em exercícios de prova.

Passo 3

Aplicando a definição por componentes a \vec{u}=(1,4,3) e \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right), obtemos:
\vec{u}\cdot\vec{w}=1\cdot\left(-2\right)+4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+3\cdot5.

Passo 4

Calculemos cada produto componente a componente:
1\cdot\left(-2\right)=-2,
4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-2,
3\cdot5=15.

Passo 5

Agora somamos os resultados parciais:
-2+(-2)=-4,
-4+15=11.
Portanto o produto escalar é 11.

Resposta

\,11\,

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