Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{v} \cdot \vec{z}

Passo 1

O enunciado fornece quatro vetores, dos quais usaremos dois para calcular um produto escalar. Dados:
\vec{u}=(1,4,3),\qquad \vec{v}=(-1,1,-1),\qquad \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right),\qquad \vec{z}=(-1,2,-3).
O que é pedido: calcular \vec{v}\cdot\vec{z}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição do produto escalar (dot product) entre dois vetores em \mathbb{R}^3. Se
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\quad\text{e}\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
então o produto escalar é dado por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i representa a componente correspondente dos vetores nas direções x,y,z. Ou seja, multiplica-se componente a componente e soma-se tudo no final. Conceito intuitivo: o produto escalar mede quanto dois vetores “apontam na mesma direção”; é também relacionado às normas e ao cosseno do ângulo \theta entre eles pela fórmula \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta, mas para calcular numericamente usamos a fórmula componente a componente acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso pedido, identificamos as componentes de \vec{v} e \vec{z}:
\vec{v}=(-1,1,-1)\quad\Rightarrow\quad v_1=-1,\;v_2=1,\;v_3=-1,
\vec{z}=(-1,2,-3)\quad\Rightarrow\quad z_1=-1,\;z_2=2,\;z_3=-3.
Então
\vec{v}\cdot\vec{z}=v_1z_1+v_2z_2+v_3z_3.

Passo 4

Calculamos cada produto componente a componente:
v_1z_1 = (-1)\cdot(-1)=1,
v_2z_2 = 1\cdot 2=2,
v_3z_3 = (-1)\cdot(-3)=3.

Passo 5

Somando os resultados:
\vec{v}\cdot\vec{z}=1+2+3=6.
Um comentário rápido de interpretação: como o produto escalar é positivo ( 6), isso indica que o ângulo entre \vec{v} e \vec{z} é agudo ( 0^\circ<\theta<90^\circ), segundo a relação \vec{v}\cdot\vec{z}=\|\vec{v}\|\,\|\vec{z}\|\cos\theta. Mas para responder à questão, o valor numérico é suficiente.

Resposta

6

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