Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{u} \cdot \vec{v}

Passo 1

Dados:
\vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3).
O que se pede: calcular \vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 2

O que é o produto escalar (ou produto interno) entre vetores? Vou explicar de um jeito direto e sem cerimônia: para dois vetores em \mathbb{R}^n, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. É um número (escalar), não um vetor. Também existe uma interpretação geométrica: \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles, mas para calcular rápido em coordenadas não precisamos desse fato agora — só da definição por componentes.

Passo 3

Em particular, para vetores em \mathbb{R}^3, se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes do primeiro vetor e b_1,b_2,b_3 as do segundo; aplicamos multiplicação componente a componente e somamos.

Passo 4

Agora aplico essa fórmula a \vec{u} e \vec{v}. Peguei as componentes diretamente do enunciado:
\vec{u}=(1,4,3),\qquad \vec{v}=(-1,1,-1).
Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot(-1)+4\cdot 1+3\cdot(-1).

Passo 5

Calculo cada produto e a soma passo a passo:
1\cdot(-1)=-1,
4\cdot 1=4,
3\cdot(-1)=-3.
Somando:
-1+4-3.

Passo 6

Faço as somas na ordem fácil: -1+4=3 e 3-3=0. Logo o produto escalar é 0.
Observação útil para a prova: quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares). Então além de calcular, você já sabe que \vec{u} é perpendicular a \vec{v}.

Resposta

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