Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{u} \cdot \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). A pergunta que precisamos responder é: calcular \vec{u}\cdot\vec{u}.\n

Passo 2

Vamos lembrar o que é o produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^3. Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui a_1,a_2,a_3 e b_1,b_2,b_3 são as componentes dos vetores \vec{a} e \vec{b}. No caso especial em que calculamos o produto escalar de um vetor por ele mesmo, temos
\vec{a}\cdot\vec{a}=a_1^2+a_2^2+a_3^2,
que é exatamente o quadrado da norma (ou comprimento) do vetor, isto é \|\vec{a}\|^2. Exemplo rápido: (1,0,0)\cdot(1,0,0)=1^2+0^2+0^2=1. Isso significa que o produto escalar de um vetor por ele mesmo soma os quadrados das componentes.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor \vec{u}=(1,4,3) temos
\vec{u}\cdot\vec{u}=1^2+4^2+3^2.
Agora calculamos cada quadrado: 1^2=1, 4^2=16, 3^2=9. Portanto
\vec{u}\cdot\vec{u}=1+16+9.

Passo 4

Somando os termos obtemos
1+16+9=26.
Como comentário extra (útil na prova): a norma de \vec{u} é \|\vec{u}\|=\sqrt{26}, já que \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=26.

Resposta

26

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