Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{v} \cdot \vec{v}

Passo 1

Dado: \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3).
O que pediram: calcular \vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 2

Definição (fórmula que vamos usar): para dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui a_1,a_2,a_3 e b_1,b_2,b_3 são as componentes dos vetores (os números que aparecem nas coordenadas). Uma observação útil: sempre que fazemos \vec{v}\cdot\vec{v} estamos somando os quadrados das componentes de \vec{v}; isso é igual ao quadrado da norma (comprimento) de \vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2.

Passo 3

Identifico as componentes de \vec{v}:
v_1=-1,\qquad v_2=1,\qquad v_3=-1.

Passo 4

Aplico a fórmula do produto escalar a \vec{v} com ela mesma:
\vec{v}\cdot\vec{v}=v_1^2+v_2^2+v_3^2=(-1)^2+1^2+(-1)^2.

Passo 5

Calculo cada quadrado e somo:
(-1)^2=1,\quad 1^2=1,\quad (-1)^2=1,
\vec{v}\cdot\vec{v}=1+1+1=3.
Comentário curto para a prova: sempre que ver \vec{x}\cdot\vec{x}, já pode pensar “soma dos quadrados das componentes” — é rápido e seguro.

Resposta

3

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